Utilizando o método de integração por substituição, calcule as integrais definidas.
integral0^4 1raiz2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
Deixa eu resumir: queremos avaliar
integral0^4 1raiz2 x+1,dx
usando substituição.

Passo 2

A ideia é identificar uma expressão simples dentro da raiz. Definimos a substituição
u = 2x + 1
Então
du = 2,dx Longrightarrow dx = du2
Também ajustamos os limites: quando x=0, u=1; quando x=4, u=9.

Passo 3

Agora reescrevemos a integral em u:
integral0^4 1raiz2 x+1,dx = integral1^9 1raizu cdot du2 = 12 integral1^9 u^-tfrac12,du

Passo 4

Para integrar u^-tfrac12 usamos a regra de potência:
integral u^-tfrac12,du = u^1/21/2 = 2raizu
Logo
12 integral1^9 u^-tfrac12,du = 12 l[2raizur]1^9 = [raizu]1^9

Passo 5

Aplicando o teorema fundamental do cálculo, temos:
[raizu]1^9 = raiz9 - raiz1 = 3 - 1 = 2

Resposta

2

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