Utilizando o método dos mínimos quadrados, ajuste uma função do tipo
nos pontos da tabela que segue e determine
.
0,0
1,0
2,0
1,1
0,1
|
|
0,0 | 1,0 | 2,0 |
|
|
1,1 | 0,1 |
|
Passo 1
O enunciado pede que, usando o método dos mínimos quadrados, a gente ajuste uma função do tipo
aos pontos fornecidos e, em seguida, determine o valor de
.
Os dados que o enunciado deu (peguei-os da tabela) são:
Os dados que o enunciado deu (peguei-os da tabela) são:
Ou seja, os pares são
,
e
.
A meta concreta: encontrar os coeficientes e
que minimizam o erro quadrático e usar esses coeficientes para calcular
.
A meta concreta: encontrar os coeficientes
Passo 2
Vamos entender o método dos mínimos quadrados de maneira direta e prática (sem pavor): assumimos o modelo
e definimos o erro quadrático total
onde
são os pontos dados. Aqui
é o número de pontos (aqui
).
Para minimizar em relação a
e
calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero — isso gera as chamadas equações normais. Vou mostrar isso passo a passo para ficar claro.
Para minimizar
Passo 3
Derivando
Organizando, essas duas equações ficam (equações normais):
Aqui cada soma é sobre (i=1,\dots,n]. Agora vamos calcular essas somas usando os dados da tabela.]
Passo 4
Calculemos as somas necessárias (peguei os valores diretos da tabela):
-
. -
. -
. -
. -
.
Calcule. Logo
Passo 5
Substituindo nas equações normais temos o sistema linear para
Agora resolvemos o sistema. Vou resolver mostrando as contas e dando também a forma fracionária exata para ficar certinho.
Multiplicando a primeira equação por
para eliminar
por subtração:
Subtraindo a primeira da segunda:
Então
Para ficar exato em fração:
, então
Em decimal,
Passo 6
Agora achamos
usando a primeira equação
:
Substituindo
:
Escrevendo
como fração temos
. Então
Dividindo por
:
Em decimal,
Passo 7
Com os coeficientes em mãos
e
, calculamos
. Observe que
. Logo
Escrevendo
e passando tudo para o mesmo denominador:
Colocando
com denominador
temos
. Assim
Essa fração não simplifica mais (verifiquei), e em decimal: