Utilizando o método dos mínimos quadrados, ajuste uma função do tipo g(x)=a+b x^{2} nos pontos da tabela que segue e determine \mathrm{g}(0,5).
x 0,0 1,0 2,0
f(x) 1,1 0,1 -3,1

Passo 1

O enunciado pede que, usando o método dos mínimos quadrados, a gente ajuste uma função do tipo \;g(x)=a+b x^{2}\; aos pontos fornecidos e, em seguida, determine o valor de \;g(0,5)\;.
Os dados que o enunciado deu (peguei-os da tabela) são:
\begin{array}{c|ccc} x & 0,0 & 1,0 & 2,0\\\ \hline f(x) & 1,1 & 0,1 & -3,1 \end{array}
Ou seja, os pares são (0,0,\,1,1), (1,0,\,0,1) e (2,0,\,-3,1).
A meta concreta: encontrar os coeficientes \;a\; e \;b\; que minimizam o erro quadrático e usar esses coeficientes para calcular \;g(0,5).

Passo 2

Vamos entender o método dos mínimos quadrados de maneira direta e prática (sem pavor): assumimos o modelo \;g(x)=a+b x^{2}\; e definimos o erro quadrático total
S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\big(y_i - a - b x_i^{2}\big)^{2},
onde (x_i,y_i) são os pontos dados. Aqui n é o número de pontos (aqui n=3).
Para minimizar S(a,b) em relação a a e b calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero — isso gera as chamadas equações normais. Vou mostrar isso passo a passo para ficar claro.

Passo 3

Derivando S\) em relação a \(a\) e \(b\) e igualando a zero obtemos: \[\frac{\partial S}{\partial a} = -2\sum_{i=1}^{n}\big(y_i - a - b x_i^{2}\big)=0,
\frac{\partial S}{\partial b} = -2\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}\big(y_i - a - b x_i^{2}\big)=0.
Organizando, essas duas equações ficam (equações normais):
\begin{cases} n a + b\sum x_i^{2} = \sum y_i,\\[4pt] a\sum x_i^{2} + b\sum x_i^{4} = \sum x_i^{2} y_i. \end{cases}
Aqui cada soma é sobre (i=1,\dots,n]. Agora vamos calcular essas somas usando os dados da tabela.]

Passo 4

Calculemos as somas necessárias (peguei os valores diretos da tabela):
  • n=3.
  • \sum x_i^{2} = 0^{2}+1^{2}+2^{2}=0+1+4=5.
  • \sum x_i^{4} = 0^{4}+1^{4}+2^{4}=0+1+16=17.
  • \sum y_i = 1,1+0,1+(-3,1)=1,1+0,1-3,1 = -1,9.
  • \sum x_i^{2}y_i = 0^{2}\cdot1,1 + 1^{2}\cdot0,1 + 2^{2}\cdot(-3,1) = 0 + 0,1 + 4\cdot(-3,1).
    Calcule 4\cdot(-3,1) = -12,4. Logo
\sum x_i^{2}y_i = 0 + 0,1 -12,4 = -12,3.

Passo 5

Substituindo nas equações normais temos o sistema linear para a\) e \(b\): \[\begin{cases} 3a + 5b = -1,9,\\[4pt] 5a +17b = -12,3. \end{cases}
Agora resolvemos o sistema. Vou resolver mostrando as contas e dando também a forma fracionária exata para ficar certinho.
Multiplicando a primeira equação por 5\] e a segunda por \[3 para eliminar a por subtração:
\begin{cases} 15a +25b = -9,5,\\[4pt] 15a +51b = -36,9. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda:
(15a+51b)-(15a+25b)= -36,9 -(-9,5) \implies 26b = -27,4.
Então
b = \frac{-27,4}{26}.
Para ficar exato em fração: -27,4 = -274/10 = -137/5\] e \(26 = 26, então
b = -\frac{137}{130}.
Em decimal,
b \approx -1,0538461538\\ \text{(arredondando)}.]

Passo 6

Agora achamos a usando a primeira equação 3a+5b=-1,9:
3a = -1,9 -5b \quad\Rightarrow\quad a = \frac{-1,9-5b}{3}.
Substituindo b=-\dfrac{137}{130}:
5b = 5\cdot\left(-\frac{137}{130}\right) = -\frac{685}{130} = -\frac{137}{26}.
Escrevendo -1,9 como fração temos -1,9=-\dfrac{19}{10}=-\dfrac{247}{130}. Então
-1,9 -5b = -\frac{247}{130} -\left(-\frac{685}{130}\right)=\frac{438}{130}=\frac{219}{65}.
Dividindo por 3:
a = \frac{219}{65}\cdot\frac{1}{3}=\frac{219}{195}=\frac{73}{65}.
Em decimal,
a \approx 1,1230769231.

Passo 7

Com os coeficientes em mãos \;a=\dfrac{73}{65}\; e \;b=-\dfrac{137}{130}\;, calculamos \;g(0,5)=a+b(0,5)^{2}. Observe que (0,5)^{2}=0,25. Logo
g(0,5)=\frac{73}{65} + \left(-\frac{137}{130}\right)\cdot 0,25.
Escrevendo 0,25=\dfrac{1}{4} e passando tudo para o mesmo denominador:
\frac{73}{65} - \frac{137}{130}\cdot\frac{1}{4} = \frac{73}{65} - \frac{137}{520}.
Colocando \dfrac{73}{65} com denominador 520 temos \dfrac{73\cdot 8}{520}=\dfrac{584}{520}. Assim
g(0,5)=\frac{584}{520}-\frac{137}{520}=\frac{447}{520}.
Essa fração não simplifica mais (verifiquei), e em decimal:
g(0,5)=\frac{447}{520}\approx 0,8596153846.

Resposta

\mathrm{g}(0,5)=\dfrac{447}{520}\approx 0,8596153846

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