Questão 4. Dada a matriz B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -1 & 3\end{array}\right).
(a) Diga se B é definida positiva. Apresente sua resposta de forma detalhada!
(b) Se B for definida positiva,então apresente pelo menos duas matrizes definidas positivas a partir dessa matriz dada.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 2 & -1 \\[4pt] 0 & -1 & 3\end{pmatrix}
e faz duas perguntas:
(a) Diga se B é definida positiva — ou seja, confirme se para todo vetor não nulo x vale x^{T}Bx>0.
(b) Se B for definida positiva, apresente pelo menos duas matrizes definidas positivas obtidas a partir de B.
Informações relevantes dadas: os elementos da matriz B (listados acima). Não há outras restrições.]

Passo 2

O que significa “matriz definida positiva” e qual critério prático vamos usar (aula rápida).
Definição (intuitiva): uma matriz simétrica A é definida positiva se para todo vetor não nulo x em \mathbb{R}^{n} tivermos x^{T}Ax>0.
Critério prático útil (Sylvester): para uma matriz simétrica A basta verificar se todos os menores principais (os determinantes dos blocos superiores à esquerda) são positivos; se sim, A é definida positiva. Vou usar este critério porque é direto e calculável à mão para uma 3\times3.

Passo 3

Verificação de simetria (pré‑condição do critério).
A matriz B tem B_{12}=1 e B_{21}=1; B_{13}=0 e B_{31}=0; B_{23}=-1 e B_{32}=-1. Logo B é simétrica. Portanto podemos aplicar o critério de Sylvester.

Passo 4

Calcular os menores principais (determinantes dos blocos superiores à esquerda).
Primeiro menor principal (dimensão 1):
D_{1}=\det\bigl(\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}\bigr)=1.
Como D_{1}=1>0 estamos bem no primeiro passo.

Passo 5

Segundo menor principal (dimensão 2): bloco superior esquerdo 2\times2
\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Determinante:
D_{2}=\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot 2 - 1\cdot 1 = 2-1=1.
Portanto D_{2}=1>0.]

Passo 6

Terceiro menor principal (dimensão 3) é o determinante de B inteira. Calculemos com expansão pela primeira linha:
\det(B)=1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora os pequenos determinantes:
\det\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}=2\cdot 3 - (-1)\cdot(-1)=6-1=5,
\det\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}=1\cdot 3 - (-1)\cdot 0 =3.
Logo
D_{3}=\det(B)=1\cdot 5 - 1\cdot 3 =5-3=2.
Portanto D_{3}=2>0.]

Passo 7

Aplicando Sylvester: todos os menores principais D_{1},D_{2},D_{3} são positivos ( 1,1,2 respectivamente). Logo B é definida positiva. Comentário extra (intuitivo): a determinante total D_{3}=2\neq 0 também mostra que B é invertível, o que será útil adiante.

Passo 8

Complemento didático — decomposição de Cholesky (mostra construtiva que B=L L^{T} com L triangular inferior e diagonais positivos): vamos encontrar L=\begin{pmatrix}l_{11} & 0 & 0 \\[4pt] l_{21} & l_{22} & 0 \\[4pt] l_{31} & l_{32} & l_{33}\end{pmatrix} tal que LL^{T}=B. Resolvendo passo a passo:
l_{11}^{2}=1 \Rightarrow l_{11}=1,
l_{21}l_{11}=1 \Rightarrow l_{21}=1,
l_{31}l_{11}=0 \Rightarrow l_{31}=0,
l_{21}^{2}+l_{22}^{2}=2 \Rightarrow 1 + l_{22}^{2}=2 \Rightarrow l_{22}=1,
l_{31}l_{21}+l_{32}l_{22}=-1 \Rightarrow 0\cdot1 + l_{32}\cdot1=-1 \Rightarrow l_{32}=-1,
l_{31}^{2}+l_{32}^{2}+l_{33}^{2}=3 \Rightarrow 0 + 1 + l_{33}^{2}=3 \Rightarrow l_{33}=\sqrt{2}.
Portanto uma fatoração de Cholesky é
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & -1 & \sqrt{2}\end{pmatrix},
e de fato B=LL^{T}. Isso demonstra construtivamente que B é definida positiva (produto de L com L^{T} tem forma quadrática positiva).]

Passo 9

Responder à parte (b): estratégias e exemplos (mini‑aula). Propriedades úteis que decorrem da definição:
  • Se B é definida positiva e c>0 é escalar, então cB é definida positiva porque, para x\neq 0,
x^{T}(cB)x = c\,x^{T}Bx >0.
  • Se B é definida positiva e invertível (aqui \det(B)=2\neq0), então B^{2} é definida positiva porque, para x\neq 0,
x^{T}B^{2}x = (Bx)^{T}(Bx)=\|Bx\|^{2}>0,
já que Bx\neq 0 para x\neq0 (invertibilidade).
  • Outra construção simples: B+\alpha I com \alpha>0 é definida positiva, pois
x^{T}(B+\alpha I)x = x^{T}Bx + \alpha \|x\|^{2} >0.
Agora apresento explicitamente pelo menos duas matrizes obtidas a partir de B e que são definidas positivas.

Passo 10

Calcule explicitamente algumas dessas matrizes para ficar bem concreto:
  • Escalar 2B:
2B=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0 \\[4pt] 2 & 4 & -2 \\[4pt] 0 & -2 & 6\end{pmatrix}.
Mostrei acima a razão algebraica (multiplicação por escalar positivo) que garante que 2B é definida positiva.
  • Quadrado B^{2} (produto B\cdot B); multiplicando explicitamente obtemos
B^{2}=\begin{pmatrix}2 & 3 & -1 \\[4pt] 3 & 6 & -5 \\[4pt] -1 & -5 & 10\end{pmatrix},
e argumentei que B^{2} é definida positiva porque x^{T}B^{2}x=\|Bx\|^{2}>0 para todo x\neq 0 (já que B é invertível).
  • Soma com identidade B+I (opcional, terceiro exemplo):
B+I=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 3 & -1 \\[4pt] 0 & -1 & 4\end{pmatrix},
e x^{T}(B+I)x=x^{T}Bx+\|x\|^{2}>0 para todo x\neq0.]

Resposta

(a) Sim, B é definida positiva.
(b) Exemplos de matrizes definidas positivas obtidas a partir de B:
2B=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0 \\[4pt] 2 & 4 & -2 \\[4pt] 0 & -2 & 6\end{pmatrix}
B^{2}=\begin{pmatrix}2 & 3 & -1 \\[4pt] 3 & 6 & -5 \\[4pt] -1 & -5 & 10\end{pmatrix}]

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