Questão 4. Dada a matriz B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -1 & 3\end{array}\right).
(a) Diga se B é definida positiva. Apresente sua resposta de forma detalhada!
(b) Se B for definida positiva,então apresente pelo menos duas matrizes definidas positivas a partir dessa matriz dada.
e faz duas perguntas:
(a) Diga se B é definida positiva — ou seja, confirme se para todo vetor não nulo x vale x^{T}Bx>0.
(b) Se B for definida positiva, apresente pelo menos duas matrizes definidas positivas obtidas a partir de B.
Informações relevantes dadas: os elementos da matriz B (listados acima). Não há outras restrições.]
Passo 2
O que significa “matriz definida positiva” e qual critério prático vamos usar (aula rápida).
Definição (intuitiva): uma matriz simétrica A é definida positiva se para todo vetor não nulo x em \mathbb{R}^{n} tivermos x^{T}Ax>0.
Critério prático útil (Sylvester): para uma matriz simétrica A basta verificar se todos os menores principais (os determinantes dos blocos superiores à esquerda) são positivos; se sim, A é definida positiva. Vou usar este critério porque é direto e calculável à mão para uma 3\times3.
Passo 3
Verificação de simetria (pré‑condição do critério).
A matriz B tem B_{12}=1 e B_{21}=1; B_{13}=0 e B_{31}=0; B_{23}=-1 e B_{32}=-1. Logo B é simétrica. Portanto podemos aplicar o critério de Sylvester.
Passo 4
Calcular os menores principais (determinantes dos blocos superiores à esquerda).
Primeiro menor principal (dimensão 1):
Aplicando Sylvester: todos os menores principais D_{1},D_{2},D_{3} são positivos (1,1,2 respectivamente). Logo B é definida positiva. Comentário extra (intuitivo): a determinante total D_{3}=2\neq 0 também mostra que B é invertível, o que será útil adiante.
Passo 8
Complemento didático — decomposição de Cholesky (mostra construtiva que B=L L^{T} com L triangular inferior e diagonais positivos): vamos encontrar L=\begin{pmatrix}l_{11} & 0 & 0 \\[4pt] l_{21} & l_{22} & 0 \\[4pt] l_{31} & l_{32} & l_{33}\end{pmatrix} tal que LL^{T}=B. Resolvendo passo a passo: