Calcule \int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{4} x d x. utilizando a regra dos trapézios. Considere 5 pontos e 6 casas decimais.
(a) 0,589048 .
(b) 0,582101
(c) 0,593038
(d) 0,591011 .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.\n
  • Pede-se aproximar a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}^{4}x\,dx usando a regra dos trapézios.\n
  • Foi indicado usar 5 pontos (ou seja, 5 nós) e apresentar o resultado com 6 casas decimais.\n
  • Intervalo de integração: [a,b]=\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right].\n
  • Função a ser integrada: f(x)=\operatorname{sen}^{4}x.\n

Passo 2

Explicando a regra dos trapézios e calculando o passo h.\n
  • A regra dos trapézios para n subintervalos (com nós x_0,\dots,x_n) é
T = h\left(\frac{1}{2}f(x_0)+f(x_1)+\cdots+f(x_{n-1})+\frac{1}{2}f(x_n)\right),
onde h=\dfrac{b-a}{n}.\n
  • O enunciado pede 5 pontos, isto é n=4 subintervalos. Então
h=\frac{b-a}{n}=\frac{\pi/2-0}{4}=\frac{\pi}{8}.

Passo 3

Definindo os nós (os 5 pontos) usados.\n
  • Os nós são
x_0=0,\quad x_1=\frac{\pi}{8},\quad x_2=\frac{\pi}{4},\quad x_3=\frac{3\pi}{8},\quad x_4=\frac{\pi}{2}.
  • Vamos precisar dos valores f(x_i)=\operatorname{sen}^{4}x_i em cada nó para aplicar a fórmula.

Passo 4

Uma fórmula prática para \operatorname{sen}^{4}x (aula rápida de identidade).\n
  • Use a identidade \operatorname{sen}^{2}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}. Então
\operatorname{sen}^{4}x=(\operatorname{sen}^{2}x)^2=\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2 =\frac{1-2\cos 2x+\cos^{2}2x}{4}.
  • Aplicando \cos^{2}2x=\dfrac{1+\cos 4x}{2} obtemos
\operatorname{sen}^{4}x=\frac{1-2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2}}{4} =\frac{3-4\cos 2x+\cos 4x}{8}.
  • Esta é uma forma conveniente porque nos permite calcular \operatorname{sen}^{4}x a partir de cossenos de múltiplos de x.

Passo 5

Avaliar f(x_i)=\operatorname{sen}^{4}x_i nos nós usando a fórmula e simplificar.\n
  • Para x_0=0:
\operatorname{sen}^{4}0=\frac{3-4\cos 0+\cos 0}{8}=\frac{3-4\cdot1+1}{8}=0.
  • Para x_1=\frac{\pi}{8}: temos 2x_1=\frac{\pi}{4} e 4x_1=\frac{\pi}{2}, logo \cos 2x_1=\frac{\sqrt{2}}{2} e \cos 4x_1=0. Assim
\operatorname{sen}^{4}\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{3-4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+0}{8} =\frac{3-2\sqrt{2}}{8}.
  • Para x_2=\frac{\pi}{4}: 2x_2=\frac{\pi}{2} ( \cos=0) e 4x_2=\pi ( \cos=-1), então
\operatorname{sen}^{4}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3-4\cdot0+(-1)}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
  • Para x_3=\frac{3\pi}{8}: 2x_3=\frac{3\pi}{4} ( \cos=-\frac{\sqrt{2}}{2}) e 4x_3=\frac{3\pi}{2} ( \cos=0), então
\operatorname{sen}^{4}\!\left(\frac{3\pi}{8}\right)=\frac{3-4\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+0}{8} =\frac{3+2\sqrt{2}}{8}.
  • Para x_4=\frac{\pi}{2}: 2x_4=\pi ( \cos=-1), 4x_4=2\pi ( \cos=1), então
\operatorname{sen}^{4}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3-4\cdot(-1)+1}{8}=\frac{8}{8}=1.
  • Agora somamos conforme a fórmula dos trapézios:
\frac{1}{2}f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+\frac{1}{2}f(x_4) = \frac{1}{2}\cdot0+\frac{3-2\sqrt{2}}{8}+\frac{1}{4}+\frac{3+2\sqrt{2}}{8}+\frac{1}{2}.
  • Observe que \dfrac{3-2\sqrt{2}}{8}+\dfrac{3+2\sqrt{2}}{8}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}. Assim a soma fica
\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
  • Portanto a parte entre parênteses da regra dos trapézios é exatamente \dfrac{3}{2}.

Passo 6

Calcular a aproximação final e converter para decimal com 6 casas.\n
  • Aplicando a regra:
T = h\cdot\frac{3}{2}=\frac{\pi}{8}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3\pi}{16}.
  • Valor numérico:
\frac{3\pi}{16}\approx 0,5890486225480863.
  • Com 6 casas decimais o valor arredondado é 0,589049, e o truncado é 0,589048. Entre as alternativas fornecidas, a que coincide (por truncamento) é 0,589048, que é a alternativa (a). (A derivação exata foi \dfrac{3\pi}{16}.)\n
  • Força aí — você conseguiu! Esse método foi direto porque os pontos escolhidos caem em razões trigonométricas conhecidas, o que simplificou bastante a soma.

Resposta

(a) 0,589048

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