Calcule
. utilizando a regra dos trapézios. Considere 5 pontos e 6 casas decimais.
(a) 0,589048 .
(b) 0,582101
(c) 0,593038
(d) 0,591011 .
(a) 0,589048 .
(b) 0,582101
(c) 0,593038
(d) 0,591011 .
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.\n
- Pede-se aproximar a integral
usando a regra dos trapézios.\n - Foi indicado usar 5 pontos (ou seja,
nós) e apresentar o resultado com casas decimais.\n - Intervalo de integração:
.\n - Função a ser integrada:
.\n
Passo 2
Explicando a regra dos trapézios e calculando o passo
.\n
- A regra dos trapézios para
subintervalos (com nós ) é
onde
.\n
- O enunciado pede 5 pontos, isto é
subintervalos. Então
Passo 3
Definindo os nós (os 5 pontos) usados.\n
- Os nós são
- Vamos precisar dos valores
em cada nó para aplicar a fórmula.
Passo 4
Uma fórmula prática para
(aula rápida de identidade).\n
- Use a identidade
. Então
- Aplicando
obtemos
- Esta é uma forma conveniente porque nos permite calcular
a partir de cossenos de múltiplos de .
Passo 5
Avaliar
nos nós usando a fórmula e simplificar.\n
- Para
:
- Para
: temos e , logo e . Assim
- Para
: ( ) e ( ), então
- Para
: ( ) e ( ), então
- Para
: ( ), ( ), então
- Agora somamos conforme a fórmula dos trapézios:
- Observe que
. Assim a soma fica
- Portanto a parte entre parênteses da regra dos trapézios é exatamente
.
Passo 6
Calcular a aproximação final e converter para decimal com 6 casas.\n
- Aplicando a regra:
- Valor numérico:
- Com
casas decimais o valor arredondado é , e o truncado é . Entre as alternativas fornecidas, a que coincide (por truncamento) é , que é a alternativa (a). (A derivação exata foi .)\n - Força aí — você conseguiu! Esse método foi direto porque os pontos escolhidos caem em razões trigonométricas conhecidas, o que simplificou bastante a soma.
Resposta
(a)