Utilizando o método de separação de variáveis, determine a solução de
t cos t-(tan y) y^prime=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO
tcos t - (tan y),y' = 0
Este é um problema de equação diferencial de 1ª ordem do tipo separável. Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, escrevemos y' = dydt e isolamos os termos de y de um lado e de t do outro:
tan y,dydt = tcos t

Passo 3

Agora separamos as variáveis, passando tudo que depende de y para dy e tudo que depende de t para dt:
sin ycos y,dy = tcos t,dt

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados:
integral sin ycos y,dy = integral tcos t,dt
No lado esquerdo temos
integral tan y,dy = -ln|cos y|
e no direito
integral tcos t,dt = tsin t + cos t
Logo obtemos
-ln|cos y| = tsin t + cos t + C

Passo 5

Multiplicando por -1 e chamando C'=-C, temos
ln|cos y| = -tsin t - cos t + C'
Exponenciando e definindo K=e^C', chega-se a
cos y = K e^-tsin t - cos t
Daí a solução explícita em função de t é
y(t) = arccos!l(K e^-tsin t - cos tr)

Resposta

y(t) = arccos!l(K e^-tsin t - cos tr)

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