Utilizando o método de separação de variáveis ou o método do fator integrante, determine a solução de cada um dos problemas seguintes:
dydt=2-y, y(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
dydt = 2 - y, y(0)=0
Este é um EDO de primeira ordem e coeficientes constantes, na forma linear. Podemos resolvê-lo usando o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação no formato padrão
dydt + y = 2

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t). Como o coeficiente de y é 1, temos
mu(t) = e^integral 1,dt = e^t

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(t):
e^tdydt + e^ty = 2e^t
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^ty, ou seja,
ddtl(e^tyr) = 2e^t

Passo 5

Agora integramos em t:
e^ty = integral 2e^t,dt = 2e^t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y e usando y(0)=0:
y = 2 + Ce^-t,
e em t=0 temos 0 = 2 + C, logo C=-2. Portanto
y(t) = 2 - 2e^-t

Resposta

y(t) = 2 - 2e^-t

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