Utilizando o método de separação de variáveis ou o método do fator integrante, determine a solução de cada um dos problemas seguintes:
y^prime=y^2, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dydx=y^2
com condição inicial y(0)=1. Este é um caso de equação separável.

Passo 2

Separemos as variáveis escrevendo
1y^2,dy = dx
Assim podemos integrar ambos os lados.

Passo 3

Integramos cada lado:
integral y^-2,dy = integral 1,dx
No lado esquerdo, integral y^-2,dy = -y^-1 + C1.
No lado direito, integral dx = x + C2.
Unindo as constantes em C, fica
-,1y = x + C

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(0)=1, temos
-,11 = 0 + C Longrightarrow C = -1
Substituindo em -1/y = x + C, obtém-se
-,1y = x - 1

Passo 5

Isolando y, multiplicamos por -1 e depois invertendo:
1y = 1 - x Longrightarrow y = 11 - x

Resposta

y(x) = 11 - x

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