Utilizando o método de separação de variáveis ou o método do fator integrante, determine a solução de cada um dos problemas seguintes:
dydt=t^2-1y^2+1, y(-1)=1.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
dydt=t^2-1y^2+1, com y(-1)=1.
Esse é um caso de equação diferencial de variáveis separáveis: podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em t do outro lado para depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por (y^2+1),dt:
(y^2+1),dy = (t^2-1),dt

Passo 3

Integre os dois lados:
integral (y^2+1),dy = integral (t^2-1),dt
As integrais são
integral (y^2+1),dy = y^33 + y, integral (t^2-1),dt = t^33 - t
Logo, após a integração aparece uma constante C:
y^33 + y = t^33 - t + C

Passo 4

Use a condição inicial y(-1)=1. Substituindo t=-1 e y=1 na expressão acima:
1^33 + 1 = (-1)^33 - (-1) + C
Isso dá
13 + 1 = -13 + 1 + C Longrightarrow 43 = 23 + C Longrightarrow C = 23

Passo 5

Substituindo C=tfrac23 na solução implícita e multiplicando tudo por 3 para simplificar:
y^3 + 3y = t^3 - 3t + 2

Resposta

A solução do problema de valor inicial é dada implicitamente por
y^3 + 3y = t^3 - 3t + 2

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