Utilizando o método de separação de variáveis ou o método do fator integrante, determine a solução de cada um dos problemas seguintes:
y^prime=t y, y(0)=9.

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial
Temos
y' = t,y,
com
y(0)=9
Isso é uma ED de 1ª ordem linear que podemos tratar por separação de variáveis.

Passo 2

Começamos separando as variáveis. Reescrevendo a equação:
dydt = t,y
dividimos ambos os lados por y e multiplicamos por dt:
1y,dy = t,dt

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. A integral de 1/y em relação a y é ln|y| e a de t em relação a t é t^2/2. Então:
integral 1y,dy = integral t,dt
resulta em
ln|y| = t^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, aplicamos exponenciação:
y = e^ln|y| = e^t^2/2 + C = e^C,e^t^2/2
Definimos A = e^C, obtendo
y(t) = A,e^t^2/2
Agora usamos a condição inicial y(0)=9:
y(0) = A,e^0 = A = 9
Portanto A=9.

Resposta

y(t) = 9,e{t2/2}

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