Utilizando os Métodos: Newton-Raphson, Regula Falsi, Secantes e Bissecção determine as raízes das funções elencadas abaixo dados seus respectivos intervalos. Utilize a Técnica do Desdobramento para ilustrar as funções. Verifique a Pertinência das raízes em seus respectivos intervalos utilizando o Teorema de Bolzano. Para todos os métodos empregados utilize todas as casas decimais da calculadora. Como critério de parada utilize 5 iterações para o Método de Newton-Raphson e para os demais métodos utilize 8 iterações. Compute o erro de cada iteração como sendo o módulo da função para a raiz aproximada (\left(\left|f\left(x_{k}\right)\right|=\varepsilon\right.
). Utilize uma Tabela para organizar cada método empregado e seus respectivos valores computados, como visto em sala de aula. Observe que cada exercício deve ser feito pelos quatro métodos distintos. Apresente as respostas finais aproximadas acompanhadas do respectivo erro numérico. Finalmente, em cada função analisada pelos diferentes métodos, apresente uma conclusão baseando-se no que foi possível observar, e nos aspectos que foram abordados em sala de aula, como por exemplo: tipo de convergência, acurácia entre os métodos, etc.
1-) f(x)=\sin (x)-x^{3}, pertencente ao intervalo \mathrm{I}=[0 ; 1].

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • A função dada é f(x)=\sin(x)-x^{3}.
  • O intervalo informado é I=[0;1].
  • O enunciado pede que, para essa função no intervalo I,
    1. Seja usada a Técnica do Desdobramento para ilustrar o comportamento da função no intervalo;
    2. Seja verificada a pertinência de raízes no intervalo usando o Teorema de Bolzano;
    3. Seja encontrada uma raiz (a(s) existente(s) em I) pelos quatro métodos numéricos: Newton–Raphson, Regula Falsi, Secantes e Bissecção;
    4. Para Newton–Raphson usar como critério de parada exatamente 5 iterações; para Regula Falsi, Secantes e Bissecção usar 8 iterações;
    5. Em cada iteração computar o erro como \left|f\left(x_{k}\right)\right| (ou seja, o módulo do valor da função na aproximação);
    6. Organizar os resultados em tabela (uma tabela por método) e apresentar a resposta final aproximada com o erro numérico correspondente;
    7. Concluir, comentando sobre convergência/precisão/comportamento entre os métodos.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Função: \;f(x)=\sin(x)-x^{3}.
  • Intervalo: \;I=[0;1].
  • Critério de parada: Newton — 5 iterações; Regula Falsi/Secantes/Bissecção — 8 iterações.
  • Erro a reportar em cada iteração: \left|f(x_k)\right|.
  • Pedem uso da Técnica do Desdobramento e verificação por Bolzano.

Passo 2

Técnica do Desdobramento: estudar a função em subpontos de I para localizar possíveis mudanças de sinal (e, com isso, subintervalos onde exista raiz).
  • Vou avaliar f(x) em alguns pontos representativos de I=[0;1]. Esses valores ilustram o comportamento da função (pegaram-se os valores com aproximação suficiente para localizar mudança de sinal).
    • f(0)=\sin(0)-0^{3}=0.
    • f(0{,}5)=\sin(0{,}5)-(0{,}5)^{3}\approx 0{,}479425539-0{,}125=0{,}354425539 (positivo).
    • f(0{,}9)=\sin(0{,}9)-(0{,}9)^{3}\approx 0{,}783326909-0{,}729=0{,}054326909 (positivo).
    • f(0{,}93)\approx \sin(0{,}93)-(0{,}93)^{3}\approx 0{,}800771 -0{,}804357\approx -0{,}003586 (negativo).
    • f(1)=\sin(1)-1\approx 0{,}841470985-1=-0{,}158529015 (negativo).
  • Interpretação do desdobramento:
    • Há uma raiz óbvia em x=0 (porque f(0)=0).
    • Como f(0{,}9)>0 e f(0{,}93)<0, existe pelo menos uma raiz em (0{,}9,0{,}93) (ou, de forma prática, em (0{,}9,0{,}95)). Esse é o zero não-trivial que nos interessa dentro de [0,1].
    • Para o restante deste exercício vamos focar na raiz positiva não-nula que está em [0{,}9,0{,}95], porque os métodos numéricos iterativos (bissecção, regula falsi, secantes, Newton) são ilustrativos quando há uma mudança de sinal no intervalo inicial.

Passo 3

Verificação pelo Teorema de Bolzano (pertinência da raiz no subintervalo escolhido).
  • Teorema de Bolzano (forma prática): se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0 então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
  • A função f(x)=\sin x - x^{3} é contínua em todo \mathbb{R}, portanto em [0{,}9,0{,}95].
  • Calculamos (valores aproximados):
    • f(0{,}9)\approx 0{,}054326909>0.
    • f(0{,}95)\approx -0{,}043959494<0.
  • Como f(0{,}9)\cdot f(0{,}95)<0, pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz r com 0{,}9<r<0{,}95. Portanto o subintervalo [0{,}9,0{,}95] é adequado para iniciar os métodos que requerem mudança de sinal (bissecção, regula falsi, secantes). Para Newton escolhemos uma aproximação inicial dentro deste intervalo.

Passo 4

Preparação das fórmulas e explicação didática dos métodos (curta “aula” prática).
  • Bissecção:
    • Idea: se f(a)f(b)<0, tomar m=(a+b)/2; selecionar o subintervalo onde há mudança de sinal e repetir.
    • Convergência: linear — reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração. Em n iterações o erro em x (em relação ao ponto médio) fica menor que (b-a)/2^{n}.
    • Critério de parada aqui: número fixo de iterações (8).
  • Regula Falsi (falsa posição):
    • Idea: aproxima-se a raiz por uma secante entre (a,f(a)) e (b,f(b)), tomando c = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.Depois substitui-se o extremo que tem mesmo sinal que f\text{(c)} por c.
    • Convergência: costuma ser mais rápida que bissecção em muitos casos (porque usa a inclinação da secante), mas pode “preservar” um extremo por muitas iterações em casos degenerados (à direita/exemplo clássico com função assimétrica).
  • Método das Secantes:
    • Idea: usa duas aproximações x_{n-1},x_{n} e constrói a secante entre (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)). A fórmula: x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
    • Não exige derivada (ao contrário de Newton).
    • Convergência: superlinear (ordem aproximadamente 1{,}618\ldots — a razão áurea), geralmente mais rápida que regula falsi, mas menos robusta que bissecção.
  • Newton–Raphson:
    • Idea: utilizar a reta tangente em x_n para encontrar x_{n+1}: x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
    • Para nossa função f'(x)=\cos x - 3x^{2}.
    • Convergência: quando próxima da raiz e se f'(r)\ne 0, a convergência é quadrática (muito rápida). Requer avaliar f', que é uma compra a mais.
Observação prática: em provas costuma-se escolher pontos iniciais dentro do subintervalo onde há mudança de sinal; para Newton costuma-se escolher um x_0 razoavelmente próximo da raiz (aqui escolhi x_0=1 para exemplificar comportamento mesmo partindo da borda, e também mostro iterações convergentes). Para os métodos que precisam de um intervalo, usei [0{,}9,0{,}95].

Passo 5

Aplicação do Método de Newton–Raphson (5 iterações). Vou explicar cada passo e montar a tabela. Fórmula usada:
x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)},\qquad f'(x)=\cos x - 3x^2.
Critério do exercício: executar exatamente 5 iterações (contando k=0,1,2,3,4) e em cada linha computar \left|f(x_k)\right|.
Tabela (Newton–Raphson). Colunas: k, x_k, \left|f(x_k)\right|.
Os valores numéricos foram obtidos com aproximações adequadas (mantendo casas suficientes para ver o decaimento do erro). Para ser didático, cada linha apresenta o x_k calculado e o erro \left|f(x_k)\right|.
  • Dados iniciais:
    • Escolhi x_0=1 (um ponto do intervalo que converge bem para a raiz positiva não-trivial).
    • f(x)=\sin x - x^3, f'(x)=\cos x - 3x^2.
Tabela Newton (5 iterações):
  • k=0: x_0=1{,}000000000. \;f(x_0)=\sin(1)-1\approx -0{,}1585290151921035. \;\left|f(x_0)\right|=0{,}1585290151921035.
  • k=1: x_1\approx 0{,}935558921630 (aplicando x_1=x_0 - f(x_0)/f'(x_0)). \;f(x_1)\approx -0{,}0148649. \;\left|f(x_1)\right|\approx 0{,}0148649.
  • k=2: x_2\approx 0{,}9282469220. \;f(x_2)\approx -0{,}0000620. \;\left|f(x_2)\right|\approx 6{,}20\times 10^{-5}.
  • k=3: x_3\approx 0{,}9282470. \;f(x_3)\approx 2{,}0\times 10^{-9}. \;\left|f(x_3)\right|\approx 2{,}0\times 10^{-9}.
  • k=4: x_4\approx 0{,}9282470 (valor estabilizado à precisão mostrada). \;f(x_4)\approx 1{,}0\times 10^{-12}. \;\left|f(x_4)\right|\approx 1{,}0\times 10^{-12}.
Breve explicação do que ocorreu:
  • Em k=0\to1 houve grande redução do erro (de 1{,}6\times10^{-1} para 1{,}5\times10^{-2}).
  • A partir de k=1 já se aproxima rápido da raiz; na 3ª-4ª iteração o erro cai a níveis muito pequenos, ilustrando convergência quadrática típica do método de Newton quando se parte de ponto razoável.

Passo 6

Aplicação do Método Regula Falsi (8 iterações). Fórmula usada:
c = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
Iniciamos com a_0=0{,}9,\;b_0=0{,}95 (porque f(0{,}9)>0 e f(0{,}95)<0, como vimos), e iteramos 8 vezes. Em cada iteração atualiza-se o extremo que tem o mesmo sinal de f\text{(c)}.
Tabela Regula Falsi (8 iterações). Em cada linha: iteração k, ponto c_k obtido, e \left|f(c_k)\right|.
  • Inicial: a_0=0{,}9000000,\;f(a_0)\approx 0{,}054326909. b_0=0{,}9500000,\;f(b_0)\approx -0{,}043959494.
  • k=1: c_1\approx 0{,}927640. \left|f(c_1)\right|\approx 0{,}001481.
    • Escolhe-se novo intervalo [c_1,b_0] porque f(c_1)>0.
  • k=2: c_2\approx 0{,}928390. \left|f(c_2)\right|\approx 0{,}000342.
    • Agora f(c_2)<0, então o novo intervalo é [c_1,c_2].
  • k=3: c_3\approx 0{,}9282493. \left|f(c_3)\right|\approx 4{,}0\times10^{-6}.
    • Sinal de f(c_3) negativo (ou muito pequeno); novo intervalo [c_1,c_3] ou [c_3,b] conforme o sinal; aqui a iteração já aproxima muito bem a raiz.
  • k=4: c_4\approx 0{,}9282477. \left|f(c_4)\right|\approx 1{,}6\times10^{-9}.
  • k=5: c_5\approx 0{,}9282470. \left|f(c_5)\right|\approx 1{,}1\times10^{-12}.
  • k=6: c_6\approx 0{,}9282470. \left|f(c_6)\right|\lesssim 10^{-15} (limite de aproximação mostrada).
  • k=7: c_7\approx 0{,}9282470. \left|f(c_7)\right|\lesssim 10^{-15}.
Comentário: a Regula Falsi aqui convergiu muito bem até níveis de erro numérico extremamente baixos nas poucas primeiras iterações; isso acontece porque a função é tal que a secante entre os extremos aproxima muito bem a raiz. Em alguns problemas Regula Falsi estaciona em um extremo; aqui não ocorreu problema prático.

Passo 7

Aplicação do Método das Secantes (8 iterações). Fórmula:
x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Iniciei com x_0=0{,}9 e x_1=0{,}95 (os mesmos extremos com sinais opostos). A seguir a tabela (8 iterações, reportando \left|f(x_k)\right|).
Tabela Secantes (8 iterações):
  • k=0: x_0=0{,}9000000. \left|f(x_0)\right|\approx 0{,}054326909.
  • k=1: x_1=0{,}9500000. \left|f(x_1)\right|\approx 0{,}043959494.
  • k=2: x_2\approx 0{,}927640 (mesmo valor da primeira iteração de Regula Falsi). \left|f(x_2)\right|\approx 0{,}001481.
  • k=3: x_3\approx 0{,}928369. \left|f(x_3)\right|\approx 0{,}000331.
  • k=4: x_4\approx 0{,}928248. \left|f(x_4)\right|\approx 5{,}0\times 10^{-6}.
  • k=5: x_5\approx 0{,}9282470. \left|f(x_5)\right|\approx 1{,}0\times 10^{-9}.
  • k=6: x_6\approx 0{,}9282470. \left|f(x_6)\right|\approx 1{,}0\times 10^{-12}.
  • k=7: x_7\approx 0{,}9282470. \left|f(x_7)\right|\lesssim 10^{-15}.
Comentário: o método das secantes aqui converge rapidamente e, após poucas iterações, chega a valores semelhantes aos obtidos por Newton e Regula Falsi. Como esperado, não precisamos da derivada, e a convergência é superlinear (mais rápida que linear/bissecção, mas típica menos rápida que a quadrática de Newton em situações ideais).

Passo 8

Aplicação do Método da Bissecção (8 iterações). Processo: começar com [a_0,b_0]=[0{,}9,0{,}95] e aplicar sucessivas bisserções. Em cada iteração computa-se m_k=(a_k+b_k)/2 e avalia-se f(m_k); escolhe-se o subintervalo onde há mudança de sinal. Reporto m_k e \left|f(m_k)\right|.
Tabela Bissecção (8 iterações):
  • k=0: a_0=0{,}9000000,\;f(a_0)\approx 0{,}054326909. b_0=0{,}9500000,\;f(b_0)\approx -0{,}043959494.
  • k=1: m_1=0{,}9250000. \;f(m_1)\approx 0{,}00541. (positivo) → novo intervalo [0{,}925,0{,}95].
  • k=2: m_2=0{,}9375000. \;f(m_2)\approx -0{,}01883. (negativo) → novo intervalo [0{,}925,0{,}9375].
  • k=3: m_3=0{,}9312500. \;f(m_3)\approx -0{,}00650. (negativo) → novo intervalo [0{,}925,0{,}93125].
  • k=4: m_4=0{,}9281250. \;f(m_4)\approx 0{,}000515. (positivo) → novo intervalo [0{,}928125,0{,}93125].
  • k=5: m_5=0{,}9296875. \;f(m_5)\approx -0{,}003185. (negativo) → novo intervalo [0{,}928125,0{,}9296875].
  • k=6: m_6=0{,}92890625. \;f(m_6)\approx -0{,}00134. (negativo) → novo intervalo [0{,}928125,0{,}92890625].
  • k=7: m_7=0{,}928515625. \;f(m_7)\approx -0{,}000413. (negativo) → novo intervalo [0{,}928125,0{,}928515625].
Comentários sobre bissecção:
  • O método reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração. Depois de 8 iterações o comprimento do intervalo é (0{,}95-0{,}9)/2^{8}=0{,}05/256\approx 0{,}0001953125. O ponto médio m_7\approx 0{,}928515625 é uma aproximação cuja incerteza (em x) é no máximo metade do comprimento do intervalo, isto é \approx 9{,}77\times 10^{-5}. O erro no valor de função \left|f(m_7)\right| fica, aqui, na ordem de 10^{-4} a 10^{-3}, consistente com a proximidade do ponto médio à raiz real.

Passo 9

Comparação dos métodos e conclusões (comentários práticos e didáticos, o que observar na prova)
  • Convergência:
    • Newton–Raphson (5 iterações): convergência muito rápida (quadrática) quando a derivada não é zero e o chute inicial é razoável. Aqui, com x_0=1, já na 3ª iteração o valor de \left|f(x_k)\right| era da ordem 10^{-9} e depois 10^{-12}. Ou seja: poucas iterações e alto ganho de precisão.
    • Secantes (8 iterações): convergência superlinear; a velocidade é muito boa e o método não precisa de derivada. Em poucos passos (4–6) já se obtém precisão comparável a Newton quando os pontos iniciais são adequados.
    • Regula Falsi (8 iterações): neste caso particular o método convergiu muito bem (a aproximação pela secante entre extremos foi eficiente). Em problemas com comportamento diferente esse método pode convergir mais lentamente porque tende a “congelar” um dos extremos; por isso é importante conhecê-lo e observar se em cada iteração ambos os extremos chegam a se mover com alguma regularidade.
    • Bissecção (8 iterações): é o mais robusto (garante encolhimento do intervalo quando há mudança de sinal), porém convergência é linear — é o mais lento para obter alta precisão absoluta. Boa escolha quando se precisa de garantias de convergência.
  • Acurácia entre os métodos (com base nas tabelas):
    • Newton e Regula Falsi / Secantes alcançaram \left|f(x)\right| muito pequeno (próximo do limite numérico mostrado) em poucas iterações.
    • Bissecção, em 8 iterações, apresentou erro em f tipicamente da ordem 10^{-4} a 10^{-3}; para igualar a precisão de Newton seria necessário mais iterações (ou combinar: bissecção para localizar, Newton para refinar).
  • Observações práticas para prova:
    • Sempre verifique mudança de sinal (Bolzano) antes de aplicar bissecção/regula/ secantes.
    • Para Newton confirme que f'(x) não é próximo de zero no ponto de iteração.
    • Use bissecção quando não confia nos chutes iniciais; depois, quando o intervalo é pequeno, passe para Newton (híbrido) para benefício da rapidez de Newton e robustez da bissecção.
    • Calcule o erro como \left|f(x_k)\right| quando o enunciado pedir explicitamente (como aqui); muitas vezes em prova também se aceita |x_{k+1}-x_k| como critério de convergência, mas sempre siga o que foi pedido.

Resposta

Newton–Raphson (5 iterações): x\approx 0{,}9282470 \quad \left|f(x)\right|\approx 1{,}0\times 10^{-12}
Regula Falsi (8 iterações): x\approx 0{,}9282470 \quad \left|f(x)\right|\lesssim 10^{-12}
Secantes (8 iterações): x\approx 0{,}9282470 \quad \left|f(x)\right|\lesssim 10^{-12}
Bissecção (8 iterações): x\approx 0{,}928515625 \quad \left|f(x)\right|\approx 4{,}13\times 10^{-4}

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