Calcular a raiz da função
, utilizando o método de Ponto Fixo e erro
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a raiz da função
usando o método de Ponto Fixo com erro
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
. - Método: Ponto Fixo (iterações do tipo
). - Tolerância para o critério de parada:
.
O objetivo é aplicar passo a passo o método, escolher uma forma adequada, iterar e parar quando .
Passo 2
O que é o método de Ponto Fixo (aula rápida e prática)?
- Transformar a equação
numa forma equivalente . - Definir a iteração
- Parar quando
. Esse critério garante que duas iterações consecutivas estão próximas, então já temos uma boa aproximação da raiz. - Um critério prático de convergência local: se em um intervalo que contém a raiz sup
, então é contração ali e as iterações convergem para o ponto fixo (raiz). Isso nos ajuda a escolher .
Passo 3
Escolha de uma transformação
. Partindo de
algumas formas possíveis são
,
,
, etc. Vou usar
porque é simples e costuma convergir para a raiz positiva. Calculemos a derivada:
Avaliaremos
no ponto aproximado da raiz positiva (que sabemos ser
, mas isso serve para checar a convergência local):
logo
. Isso indica convergência local para a raiz
. (Observação: para a outra raiz
tem-se
, então esta
não converge para
.)
Passo 4
Definir o esquema iterativo e a condição de parada. A iteração será
e o critério de parada é
. Escolho uma estimativa inicial razoável próxima da raiz positiva:
. (Escolher
perto da raiz melhora a convergência.)
Passo 5
Cálculo de
:
Diferença:
ainda não satisfaz o critério.
Passo 6
Cálculo de
:
Diferença:
Passo 7
Cálculo de
:
Diferença:
Passo 8
Cálculo de
:
Diferença:
Passo 9
Cálculo de
:
Diferença:
Passo 10
Cálculo de
:
Diferença:
Passo 11
Cálculo de
:
Diferença:
Passo 12
Cálculo de
:
Diferença:
Passo 13
Cálculo de
:
Diferença:
Passo 14
Cálculo de
:
Diferença:
Passo 15
Cálculo de
:
Diferença:
Passo 16
Cálculo de
:
Diferença:
Passo 17
Cálculo de
:
Diferença:
Passo 18
Cálculo de
:
Diferença:
Passo 19
Cálculo de
:
Diferença:
Portanto o critério de parada
é satisfeito na iteração que produziu
.
Passo 20
Conclusão e interpretação: a iteração com
e
convergiu para a raiz positiva aproximada
quando a diferença entre iterações ficou menor que a tolerância dada. Isso está coerente com a raiz exata conhecida
; o método aproxima bem essa raiz.