Calcular a raiz da função f(x)=x^{2}+x-6, utilizando o método de Ponto Fixo e erro \varepsilon=0,2 \cdot 10^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a raiz da função f(x)=x^{2}+x-6 usando o método de Ponto Fixo com erro \varepsilon=0{,}2\cdot10^{-2}=0{,}002.
Informações dadas:
  • f(x)=x^{2}+x-6.
  • Método: Ponto Fixo (iterações do tipo x_{n+1}=g(x_n)).
  • Tolerância para o critério de parada: \varepsilon=0{,}002.
    O objetivo é aplicar passo a passo o método, escolher uma forma adequada g(x), iterar e parar quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon.

Passo 2

O que é o método de Ponto Fixo (aula rápida e prática)?
  • Transformar a equação f(x)=0 numa forma equivalente x=g(x).
  • Definir a iteração
x_{n+1}=g(x_n).
  • Parar quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon. Esse critério garante que duas iterações consecutivas estão próximas, então já temos uma boa aproximação da raiz.
  • Um critério prático de convergência local: se em um intervalo que contém a raiz sup |g'(x)|=k<1, então g é contração ali e as iterações convergem para o ponto fixo (raiz). Isso nos ajuda a escolher g.

Passo 3

Escolha de uma transformação g(x). Partindo de
x^{2}+x-6=0,
algumas formas possíveis são x=\sqrt{6-x}, x=-\sqrt{6-x}, x=\dfrac{6}{x+1}, etc. Vou usar
g(x)=\frac{6}{x+1},
porque é simples e costuma convergir para a raiz positiva. Calculemos a derivada:
g'(x) = -\frac{6}{(x+1)^{2}}.
Avaliaremos g' no ponto aproximado da raiz positiva (que sabemos ser 2, mas isso serve para checar a convergência local):
g'(2) = -\frac{6}{(2+1)^{2}} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3},
logo |g'(2)|=\tfrac{2}{3}<1. Isso indica convergência local para a raiz x=2. (Observação: para a outra raiz x=-3 tem-se |g'(-3)|>1, então esta g não converge para -3.)

Passo 4

Definir o esquema iterativo e a condição de parada. A iteração será
x_{n+1}=\frac{6}{x_n+1},
e o critério de parada é |x_{n+1}-x_n|<0{,}002. Escolho uma estimativa inicial razoável próxima da raiz positiva: x_0=1{,}5. (Escolher x_0 perto da raiz melhora a convergência.)

Passo 5

Cálculo de x_1:
x_1=\frac{6}{x_0+1}=\frac{6}{1{,}5+1}=\frac{6}{2{,}5}=2{,}4.
Diferença:
|x_1-x_0|=|2{,}4-1{,}5|=0{,}9>0{,}002,
ainda não satisfaz o critério.

Passo 6

Cálculo de x_2:
x_2=\frac{6}{2{,}4+1}=\frac{6}{3{,}4}=\frac{30}{17}\approx1{,}7647058824.
Diferença:
|x_2-x_1|\approx|1{,}7647058824-2{,}4|\approx0{,}6352941176>0{,}002.

Passo 7

Cálculo de x_3:
x_3=\frac{6}{\tfrac{30}{17}+1}=\frac{6}{\tfrac{47}{17}}=\frac{102}{47}\approx2{,}1702127659.
Diferença:
|x_3-x_2|\approx|2{,}1702127659-1{,}7647058824|\approx0{,}4055068835>0{,}002.

Passo 8

Cálculo de x_4:
x_4=\frac{6}{\tfrac{102}{47}+1}=\frac{6}{\tfrac{149}{47}}=\frac{282}{149}\approx1{,}8926174497.
Diferença:
|x_4-x_3|\approx|1{,}8926174497-2{,}1702127659|\approx0{,}2775953162>0{,}002.

Passo 9

Cálculo de x_5:
x_5=\frac{6}{\tfrac{282}{149}+1}=\frac{6}{\tfrac{431}{149}}=\frac{894}{431}\approx2{,}0737830120.
Diferença:
|x_5-x_4|\approx0{,}1811655623>0{,}002.

Passo 10

Cálculo de x_6:
x_6=\frac{6}{\tfrac{894}{431}+1}=\frac{6}{\tfrac{1325}{431}}=\frac{2586}{1325}\approx1{,}9516981132.
Diferença:
|x_6-x_5|\approx0{,}1220848988>0{,}002.

Passo 11

Cálculo de x_7:
x_7=\frac{6}{\tfrac{2586}{1325}+1}=\frac{6}{\tfrac{3911}{1325}}=\frac{7950}{3911}\approx2{,}0333259133.
Diferença:
|x_7-x_6|\approx0{,}0816278001>0{,}002.

Passo 12

Cálculo de x_8:
x_8=\frac{6}{\tfrac{7950}{3911}+1}=\frac{6}{\tfrac{11861}{3911}}=\frac{23466}{11861}\approx1{,}978398.
Diferença:
|x_8-x_7|\approx|1{,}978398-2{,}0333259133|\approx0{,}0549279133>0{,}002.

Passo 13

Cálculo de x_9:
x_9=\frac{6}{x_8+1}\approx\frac{6}{1{,}978398+1}\approx2{,}014495.
Diferença:
|x_9-x_8|\approx0{,}036097>0{,}002.

Passo 14

Cálculo de x_{10}:
x_{10}=\frac{6}{x_9+1}\approx\frac{6}{2{,}014495+1}\approx1{,}990381.
Diferença:
|x_{10}-x_9|\approx0{,}024114>0{,}002.

Passo 15

Cálculo de x_{11}:
x_{11}=\frac{6}{x_{10}+1}\approx\frac{6}{1{,}990381+1}\approx2{,}005346.
Diferença:
|x_{11}-x_{10}|\approx0{,}014965>0{,}002.

Passo 16

Cálculo de x_{12}:
x_{12}=\frac{6}{x_{11}+1}\approx\frac{6}{2{,}005346+1}\approx1{,}997679.
Diferença:
|x_{12}-x_{11}|\approx0{,}007667>0{,}002.

Passo 17

Cálculo de x_{13}:
x_{13}=\frac{6}{x_{12}+1}\approx\frac{6}{1{,}997679+1}\approx2{,}001553.
Diferença:
|x_{13}-x_{12}|\approx0{,}003874>0{,}002.

Passo 18

Cálculo de x_{14}:
x_{14}=\frac{6}{x_{13}+1}\approx\frac{6}{2{,}001553+1}\approx1{,}998963.
Diferença:
|x_{14}-x_{13}|\approx0{,}002590>0{,}002.

Passo 19

Cálculo de x_{15}:
x_{15}=\frac{6}{x_{14}+1}\approx\frac{6}{1{,}998963+1}\approx2{,}000857.
Diferença:
|x_{15}-x_{14}|\approx|2{,}000857-1{,}998963|\approx0{,}001894<0{,}002.
Portanto o critério de parada |x_{n+1}-x_n|<0{,}002 é satisfeito na iteração que produziu x_{15}.

Passo 20

Conclusão e interpretação: a iteração com g(x)=\dfrac{6}{x+1} e x_0=1{,}5 convergiu para a raiz positiva aproximada x\approx2{,}000857 quando a diferença entre iterações ficou menor que a tolerância dada. Isso está coerente com a raiz exata conhecida x=2; o método aproxima bem essa raiz.

Resposta

x\approx2{,}000857

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