Calcular a raiz da função f(x)=e^{-2 x}-x^{2}, utilizando o método da falsa posição com intervalo [0,2] e erro \varepsilon=0,2 \cdot 10^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a raiz da função f(x)=e^{-2x}-x^{2} usando o método da falsa posição (regula falsi) no intervalo [0,2] com erro tolerado \varepsilon=0,2\cdot10^{-2}=0,002.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=e^{-2x}-x^{2}.
  • Intervalo inicial: a_0=0, b_0=2.
  • Critério de erro pedido: \varepsilon=0,002.
O que precisamos entregar: uma aproximação da raiz (um x tal que f(x)=0) obtida pelo método da falsa posição, interrompendo quando a diferença entre duas aproximações sucessivas for menor que 0,002.

Passo 2

Explicando o método da falsa posição (regula falsi), passo a passo e a fórmula usada.
Ideia do método: partimos de um intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), o que garante existência de pelo menos uma raiz em [a,b]. Em cada iteração tiramos a reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) e calculamos a interseção dessa reta com o eixo x. Essa interseção é a nova aproximação da raiz.
Fórmula da falsa posição (posição falsa):
x_r=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Explicando as variáveis:
  • a e b são as extremidades atuais do intervalo,
  • f(a) e f(b) são os valores da função nessas extremidades,
  • x_r é o ponto de interseção da reta com o eixo x, usado como nova aproximação.
Critério de atualização do intervalo:
  • Se f(a)\cdot f(x_r)<0, a raiz está em [a,x_r] e substitui-se b por x_r.
  • Se f(x_r)\cdot f(b)<0, a raiz está em [x_r,b] e substitui-se a por x_r.
  • Se f(x_r)=0 (praticamente raro em aritmética finita), então x_r é a raiz exata.
Critério de parada que vamos usar (o pedido no enunciado implicando erro): parar quando
|x_r^{(k)}-x_r^{(k-1)}|<\varepsilon = 0,002,
ou seja, quando a diferença entre duas aproximações sucessivas for menor que 0,002.

Passo 3

Verificação inicial de sinais nas extremidades (preciso para aplicar o método):
f(0)=e^{0}-0^{2}=1>0,
f(2)=e^{-4}-4\approx 0,0183156389-4=-3,9816843611<0.
Como f(0)\cdot f(2)<0, há pelo menos uma raiz em [0,2] e podemos aplicar a falsa posição.
Agora vamos iterar. Em cada iteração calculo x_r pela fórmula, avalio f(x_r), decido qual extremidade substituir e calculo a diferença entre aproximações sucessivas para aplicar o critério de parada.
Cálculos numéricos com arredondamento razoável (mantendo 6 casas decimais quando necessário) — explicarei cada iteração.

Passo 4

Iteração 1:
  • a_0=0,\; b_0=2.
  • f(a_0)=1,\; f(b_0)\approx-3,9816843611.
Aplicando a fórmula
x_{r1}=\frac{a_0 f(b_0)-b_0 f(a_0)}{f(b_0)-f(a_0)} =\frac{0\cdot f(b_0)-2\cdot1}{f(b_0)-1} =\frac{-2}{-3{,}9816843611-1} \approx 0{,}401470331.
Avaliação:
f(x_{r1})=e^{-2(0{,}401470331)}-(0{,}401470331)^2 \approx 0{,}447966-0{,}161178 \approx 0{,}286788>0.
Como f(x_{r1})>0 e f(b_0)<0, a raiz está em [x_{r1},b_0]. Atualiza-se:
  • a_1=x_{r1}\approx 0{,}401470331,
  • b_1=2.
Ainda não há iteração anterior para comparar o erro, então continuamos.

Passo 5

Iteração 2:
  • a_1\approx0{,}401470331,\; b_1=2.
  • f(a_1)\approx0{,}286788,\; f(b_1)\approx-3{,}9816843611.
Calculando
x_{r2}=\frac{a_1 f(b_1)-b_1 f(a_1)}{f(b_1)-f(a_1)} \approx\frac{0{,}401470331(-3{,}9816843611)-2(0{,}286788)}{-3{,}9816843611-0{,}286788} \approx 0{,}508783.
Avaliação:
f(x_{r2})=e^{-2(0{,}508783)}-(0{,}508783)^2 \approx 0{,}361170-0{,}258859 \approx 0{,}102311>0.
Sinal positivo novamente, então a raiz está em [x_{r2},b_1]. Atualiza-se:
  • a_2=x_{r2}\approx 0{,}508783,
  • b_2=2.
Erro aproximado entre iterações:
|x_{r2}-x_{r1}|\approx |0{,}508783-0{,}401470331|\approx 0{,}107313>0{,}002.
Portanto continuar.

Passo 6

Iteração 3:
  • a_2\approx0{,}508783,\; b_2=2.
  • f(a_2)\approx0{,}102311,\; f(b_2)\approx-3{,}9816843611.
Calculando
x_{r3}=\frac{a_2 f(b_2)-b_2 f(a_2)}{f(b_2)-f(a_2)} \approx 0{,}546272.
Avaliação:
f(x_{r3})=e^{-2(0{,}546272)}-(0{,}546272)^2 \approx 0{,}335300-0{,}298409 \approx 0{,}036891>0.
Como f(x_{r3})>0, atualiza-se a_3=x_{r3}\approx0{,}546272, b_3=2.
Erro:
|x_{r3}-x_{r2}|\approx |0{,}546272-0{,}508783|\approx 0{,}037489>0{,}002.
Continuar.

Passo 7

Iteração 4:
  • a_3\approx0{,}546272,\; b_3=2.
  • f(a_3)\approx0{,}036891,\; f(b_3)\approx-3{,}9816843611.
Calculando
x_{r4}\approx 0{,}559549.
Avaliação:
f(x_{r4})=e^{-2(0{,}559549)}-(0{,}559549)^2 \approx 0{,}326942-0{,}313090 \approx 0{,}013852>0.
Atualiza-se a_4=x_{r4}\approx0{,}559549, b_4=2.
Erro:
|x_{r4}-x_{r3}|\approx |0{,}559549-0{,}546272|\approx 0{,}013277>0{,}002.
Continuar.

Passo 8

Iteração 5:
  • a_4\approx0{,}559549,\; b_4=2.
  • f(a_4)\approx0{,}013852,\; f(b_4)\approx-3{,}9816843611.
Calculando
x_{r5}\approx 0{,}564617.
Avaliação:
f(x_{r5})=e^{-2(0{,}564617)}-(0{,}564617)^2 \approx 0{,}323820-0{,}318788 \approx 0{,}005032>0.
Atualiza-se a_5=x_{r5}\approx0{,}564617, b_5=2.
Erro:
|x_{r5}-x_{r4}|\approx |0{,}564617-0{,}559549|\approx 0{,}005068>0{,}002.
Continuar.

Passo 9

Iteração 6:
  • a_5\approx0{,}564617,\; b_5=2.
  • f(a_5)\approx0{,}005032,\; f(b_5)\approx-3{,}9816843611.
Calculando
x_{r6}\approx 0{,}566624.
Avaliação:
f(x_{r6})=e^{-2(0{,}566624)}-(0{,}566624)^2 \approx 0{,}322360-0{,}321081 \approx 0{,}001279>0.
Atualiza-se a_6=x_{r6}\approx0{,}566624, b_6=2.
Erro:
|x_{r6}-x_{r5}|\approx |0{,}566624-0{,}564617|\approx 0{,}002007.
Ainda ligeiramente maior que 0{,}002, portanto fazemos mais uma iteração.

Passo 10

Iteração 7:
  • a_6\approx0{,}566624,\; b_6=2.
  • f(a_6)\approx0{,}001279,\; f(b_6)\approx-3{,}9816843611.
Calculando
x_{r7}\approx 0{,}567129.
Avaliação:
f(x_{r7})=e^{-2(0{,}567129)}-(0{,}567129)^2 \approx 0{,}321618-0{,}321632 \approx -0{,}000014\\ (\text{próximo de }0).ó
Aqui já notamos f(x_{r7}) muito próximo de zero (troca de sinal próxima).
Erro:
|x_{r7}-x_{r6}|\approx |0{,}567129-0{,}566624|\approx 0{,}000505<0{,}002,
ou seja, a diferença entre aproximações sucessivas já é menor que a tolerância pedida. Assim podemos parar.
Interpretação: a sequência de aproximações via falsa posição convergiu, mantendo b fixo e movendo a em direção à raiz; após 7 iterações a diferença entre aproximações sucessivas ficou abaixo de 0{,}002.

Resposta

x\approx 0{,}567129

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