Calcular a raiz da função
, utilizando o método da falsa posição com intervalo
e erro
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a raiz da função
usando o método da falsa posição (regula falsi) no intervalo
com erro tolerado
.
Informações dadas:
- Função:
. - Intervalo inicial:
, . - Critério de erro pedido:
.
O que precisamos entregar: uma aproximação da raiz (um
tal que
) obtida pelo método da falsa posição, interrompendo quando a diferença entre duas aproximações sucessivas for menor que
.
Passo 2
Explicando o método da falsa posição (regula falsi), passo a passo e a fórmula usada.
Ideia do método: partimos de um intervalo
com
e
de sinais opostos (ou seja,
), o que garante existência de pelo menos uma raiz em
. Em cada iteração tiramos a reta que passa pelos pontos
e
e calculamos a interseção dessa reta com o eixo
. Essa interseção é a nova aproximação da raiz.
Fórmula da falsa posição (posição falsa):
Explicando as variáveis:
-
e são as extremidades atuais do intervalo, -
e são os valores da função nessas extremidades, -
é o ponto de interseção da reta com o eixo , usado como nova aproximação.
Critério de atualização do intervalo:
- Se
, a raiz está em e substitui-se por . - Se
, a raiz está em e substitui-se por . - Se
(praticamente raro em aritmética finita), então é a raiz exata.
Critério de parada que vamos usar (o pedido no enunciado implicando erro): parar quando
ou seja, quando a diferença entre duas aproximações sucessivas for menor que
.
Passo 3
Verificação inicial de sinais nas extremidades (preciso para aplicar o método):
Como
, há pelo menos uma raiz em
e podemos aplicar a falsa posição.
Agora vamos iterar. Em cada iteração calculo
pela fórmula, avalio
, decido qual extremidade substituir e calculo a diferença entre aproximações sucessivas para aplicar o critério de parada.
Cálculos numéricos com arredondamento razoável (mantendo 6 casas decimais quando necessário) — explicarei cada iteração.
Passo 4
Iteração 1:
-
. -
.
Aplicando a fórmula
Avaliação:
Como
e
, a raiz está em
. Atualiza-se:
-
, -
.
Ainda não há iteração anterior para comparar o erro, então continuamos.
Passo 5
Iteração 2:
-
. -
.
Calculando
Avaliação:
Sinal positivo novamente, então a raiz está em
. Atualiza-se:
-
, -
.
Erro aproximado entre iterações:
Portanto continuar.
Passo 6
Iteração 3:
-
. -
.
Calculando
Avaliação:
Como
, atualiza-se
,
.
Erro:
Continuar.
Passo 7
Iteração 4:
-
. -
.
Calculando
Avaliação:
Atualiza-se
,
.
Erro:
Continuar.
Passo 8
Iteração 5:
-
. -
.
Calculando
Avaliação:
Atualiza-se
,
.
Erro:
Continuar.
Passo 9
Iteração 6:
-
. -
.
Calculando
Avaliação:
Atualiza-se
,
.
Erro:
Ainda ligeiramente maior que
, portanto fazemos mais uma iteração.
Passo 10
Iteração 7:
-
. -
.
Calculando
Avaliação:
Aqui já notamos
muito próximo de zero (troca de sinal próxima).
Erro:
ou seja, a diferença entre aproximações sucessivas já é menor que a tolerância pedida. Assim podemos parar.
Interpretação: a sequência de aproximações via falsa posição convergiu, mantendo
fixo e movendo
em direção à raiz; após 7 iterações a diferença entre aproximações sucessivas ficou abaixo de
.