Utilizando o processo de isolamento de raízes encontre o(s) intervalo(s) que contenham 1 raiz das funções abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar, por isolamento de raízes, o(s) intervalo(s) que contenham exatamente uma raiz da função
Informações dadas que vamos usar:
é contínua e diferenciável em
(soma de
e
).
A função tem período
para o argumento
(porque
).
Pontos notáveis da seno com esse argumento: zeros em e extremos em
,
.
Nossa tarefa: achar intervalos (preferivelmente curtos, p.ex. entre inteiros) onde muda de sinal (garantindo pelo Teorema do Valor Intermediário a existência de uma raiz) e mostrar que cada intervalo contém exatamente uma raiz.
A função
Pontos notáveis da seno com esse argumento: zeros em
Nossa tarefa: achar intervalos (preferivelmente curtos, p.ex. entre inteiros) onde
Passo 2
Avalio
Logo, para inteiro
e observar o padrão.]
Passo 3
Calculo alguns valores-chave (aproximações numéricas só para intuição):
Observação do padrão: em
é positivo; em
é negativo; em
volta a ser positivo. Isso sugere mudanças de sinal e, portanto, raízes nos intervalos
e
. Vou generalizar esse padrão usando a periodicidade de
.
Passo 4
Generalização por período: para inteiro
consideramos os pontos
Pelos valores da seno em inteiros,
Note que
e
ficam muito pequenos quando
é negativo suficiente. Precisamos achar para quais
temos
e
. Como
, a condição
dá
. Assim, para todo
temos
Pelo Teorema do Valor Intermediário existem pelo menos duas raízes em cada período negativo: uma em
e outra em
sempre que
.
Passo 5
Agora mostro que em cada um desses intervalos a raiz é única. Para isso uso a derivada
Analiso o sinal de
nos dois tipos de intervalo, para
:
- Em
: o argumento varia em , onde satisfaz . Logo
Para
temos
, então
e
Portanto
em todo
quando
. Assim
é estritamente decrescente ali, o que garante que a mudança de sinal encontrada no Passo 4 corresponde a exatamente uma raiz nesse intervalo.
- Em
: o argumento varia em , onde . Então
Logo
em todo
para
;
é estritamente crescente ali, garantindo unicidade da raiz nesse intervalo também.
Passo 6
Verificação rápida de que não há raízes em
nem em
:
- Se
então e , logo
A igualdade não ocorre para algum
porque
só em
e aí
. Portanto
para todo
. Assim não há raízes em
.
- Se
, então e é negativa, logo (negativo) . Portanto nenhuma raiz em .
Passo 7
Conclusão: para
cada período negativo produz exatamente duas raízes, localizadas nos intervalos
Exemplos concretos (casos
):
Não existem raízes em
.