Utilizando o processo de isolamento de raízes encontre o(s) intervalo(s) que contenham 1 raiz das funções abaixo:
;
Passo 1
Enunciado claro e dados fornecidos. A função dada é
O que se pede: encontrar intervalos que contenham exatamente uma raiz de
(isolar cada raiz). Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Vamos transformar a função usando uma identidade trigonométrica elementar. A identidade é
Aplicando com
e
obtemos
Passo 3
Simplificando os argumentos dos senos:
logo
Como
, temos
Usando
chegamos a
Aqui explico o que significa cada fator:
é sempre
e
pode ser positivo, negativo ou zero.
Passo 4
Agora resolvemos
. Pelo produto temos zeros quando pelo menos um dos fatores é zero:
As soluções são
Juntando as duas famílias obtemos todas as raízes
Observação útil: as raízes estão igualmente espaçadas por
(distância entre raízes consecutivas).
Passo 5
Análise de multiplicidade e comportamento do sinal (importante para isolamento). Como
,
- quando
(isto é, ) o fator anula com multiplicidade — raiz de multiplicidade par (dupla). Nesses pontos geralmente NÃO muda de sinal ao atravessar a raiz. - quando
(isto é, ) a raiz é simples (multiplicidade ) porque aparece em potência — aí normalmente muda de sinal.
Mesmo que uma raiz seja dupla, continua sendo uma raiz; para isolar uma raiz basta garantir que não haja outra raiz dentro do intervalo escolhido.
Passo 6
Construção dos intervalos de isolamento. Como as raízes são igualmente espaçadas por
, uma escolha natural e simples é tomar para cada raiz
um intervalo simétrico em torno dela com raio
. Ou seja, para cada
consideramos
Esses intervalos têm comprimento
dividido por 2 de cada lado e, portanto, não contêm nenhuma outra raiz além de
(porque a distância entre raízes consecutivas é
). Assim cada intervalo contém exatamente uma raiz. Reescrevendo os extremos de forma mais compacta:
Passo 7
Verificação rápida por exemplo(s) (ajuda a confiar no método):
- Para
o intervalo é e contém a raiz . Os extremos não são raízes (são pontos do tipo ), de fato . - Para
o intervalo é e contém a raiz . Novamente os extremos não são raízes.
Esses exemplos mostram que a escolha feita isola corretamente cada raiz.