Utilizando as propriedades operatórias dos logaritmos, calcule o valor numérico exato das expressões abaixo sem recorrer à calculadora:
\log _{4}(2)+\log _{4}(8)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor numérico exato de \log_{4}(2)+\log_{4}(8) sem calculadora.
Informações relevantes (diretamente do enunciado ou fáceis de reescrever):
  • A expressão é \log_{4}(2)+\log_{4}(8).
  • Podemos notar que 4=2^{2}, 2=2^{1} e 8=2^{3}. Essas igualdades serão úteis.

Passo 2

Definição básica de logaritmo (relembre como funciona):
\log_{a}(b)=x \iff a^{x}=b.
Isto quer dizer: \log_{a}(b) é o expoente ao qual a base a deve ser elevada para obter b. Exemplo rápido: \log_{2}(8)=3 porque 2^{3}=8.

Passo 3

Propriedade prática que vamos usar (fórmula de mudança de base):
\log_{a}(b)=\frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)},
para qualquer base c>0, c\neq1. Demonstração curta: se x=\log_{a}(b) então a^{x}=b. Tomando \log_{c} dos dois lados dá \log_{c}(a^{x})=\log_{c}(b), ou seja x\log_{c}(a)=\log_{c}(b), daí x=\dfrac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)}.

Passo 4

Calcular \log_{4}(2) usando mudança de base com c=2:
\log_{4}(2)=\frac{\log_{2}(2)}{\log_{2}(4)}.
Agora evaluate os termos: \log_{2}(2)=1 porque 2^{1}=2, e \log_{2}(4)=2 porque 2^{2}=4. Logo
\log_{4}(2)=\frac{1}{2}.

Passo 5

Calcular \log_{4}(8) da mesma forma (usar c=2):
\log_{4}(8)=\frac{\log_{2}(8)}{\log_{2}(4)}.
Temos \log_{2}(8)=3 (pois 2^{3}=8) e \log_{2}(4)=2. Portanto
\log_{4}(8)=\frac{3}{2}.

Passo 6

Somar os resultados obtidos:
\log_{4}(2)+\log_{4}(8)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{4}{2}=2.

Resposta

2

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