Utilizando as propriedades operatórias dos logaritmos, calcule o valor numérico exato das expressões abaixo sem recorrer à calculadora:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor numérico exato de
sem calculadora.
Informações relevantes (diretamente do enunciado ou fáceis de reescrever):
Informações relevantes (diretamente do enunciado ou fáceis de reescrever):
- A expressão é
. - Podemos notar que
, e . Essas igualdades serão úteis.
Passo 2
Definição básica de logaritmo (relembre como funciona):
Isto quer dizer:
é o expoente ao qual a base
deve ser elevada para obter
. Exemplo rápido:
porque
.
Passo 3
Propriedade prática que vamos usar (fórmula de mudança de base):
para qualquer base
,
. Demonstração curta: se
então
. Tomando
dos dois lados dá
, ou seja
, daí
.
Passo 4
Calcular
usando mudança de base com
:
Agora evaluate os termos:
porque
, e
porque
. Logo
Passo 5
Calcular
da mesma forma (usar
):
Temos
(pois
) e
. Portanto
Passo 6
Somar os resultados obtidos: