Utilizando as propriedades operatórias dos logaritmos, calcule o valor numérico exato das expressões abaixo sem recorrer à calculadora:
2^{\log _{2}(7)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor numérico exato da expressão 2^{\log_{2}(7)}. As informações importantes que temos:
  • A base do logaritmo é 2.
  • O argumento do logaritmo é 7 (positivo).
  • A expressão é uma potência com expoente igual a um logaritmo na mesma base da potência.

Passo 2

Entender o que significa \log e a relação entre logaritmo e potência.
  • Por definição, \log_{a}(x)=y significa que a potência a^{y} é igual a x. Em símbolos: se \log_{a}(x)=y então a^{y}=x.
  • Condições: a>0,\;a\neq1 e x>0.
  • Essa definição implica duas propriedades inversas muito úteis: a^{\log_{a}(x)}=xe \log_{a}\bigl(a^{x}\bigr)=x.Explicando por que isso é verdade (rápido): se \log_{a}(x)=y, então por definição a^{y}=x; substituir y=\log_{a}(x) dá exatamente a^{\log_{a}(x)}=x. Ou seja, elevar a ao logaritmo na mesma base “cancela” o logaritmo.

Passo 3

Aplicar a propriedade à expressão dada.
  • Tome y=\log_{2}(7). Pela definição de logaritmo, isso significa que 2^{y}=7.
  • Substituindo y de volta na expressão original obtemos 2^{\log_{2}(7)}=7.

Passo 4

Exemplos rápidos para fixar (úteis na prova):
  • 10^{\log_{10}(3)}=3.
  • 5^{\log_{5}(125)}=125.
    Dica prática: sempre que vir a^{\log_{a}(\cdot)} pode-se imediatamente substituir pelo argumento do logaritmo — é uma simplificação direta e exata.

Resposta

7

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