Utilizando as propriedades operatórias dos logaritmos, calcule o valor numérico exato das expressões abaixo sem recorrer à calculadora:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor numérico exato da expressão
. As informações importantes que temos:
- A base do logaritmo é
. - O argumento do logaritmo é
(positivo). - A expressão é uma potência com expoente igual a um logaritmo na mesma base da potência.
Passo 2
Entender o que significa
e a relação entre logaritmo e potência.
- Por definição,
significa que a potência é igual a . Em símbolos: se então . - Condições:
e . - Essa definição implica duas propriedades inversas muito úteis:
e Explicando por que isso é verdade (rápido): se , então por definição ; substituir dá exatamente . Ou seja, elevar ao logaritmo na mesma base “cancela” o logaritmo.
Passo 3
Aplicar a propriedade à expressão dada.
- Tome
. Pela definição de logaritmo, isso significa que . - Substituindo
de volta na expressão original obtemos
Passo 4
Exemplos rápidos para fixar (úteis na prova):
-
. -
.
Dica prática: sempre que virpode-se imediatamente substituir pelo argumento do logaritmo — é uma simplificação direta e exata.