Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Repare que essa é uma função composta, onde definimos
u(x)=x^{2}+1 \quad\text{e}\quad h(u)=\ln(u).
Para derivar, vamos usar a regra da cadeia, que diz
(f\circ u)'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 2

Derivamos primeiro a parte externa h(u)=\ln(u). Sabemos que
h'(u)=\frac{1}{u}.

Passo 3

Agora derivamos a parte interna u(x)=x^{2}+1. Temos
u'(x)=2x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, juntamos as duas derivadas:
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x =\frac{2x}{x^{2}+1}.

Resposta

f'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}.

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