Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=a^{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \displaystyle f(x)=a^{\cos x}.
Aqui vamos usar dois ingredientes principais:
  1. A expressão de uma potência geral como exponencial, ou seja
a^{u} = e^{u \ln a},
  1. A regra da cadeia, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl(e^{g(x)}\bigr) = e^{g(x)} \, g'(x).

Passo 2

Reescrevemos f(x) na forma de exponencial:
f(x) = a^{\cos x} = e^{\cos x \,\ln a}.
Definimos a função interna
g(x) = \cos x \,\ln a,
de modo que f(x)=e^{g(x)}.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para f(x)=e^{g(x)}. Primeiro calculamos g'(x):
g'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\cos x \,\ln a\bigr) = (\ln a)\,\frac{d}{dx}(\cos x) = (\ln a)\,(-\sin x) = -\ln a\;\sin x.
Logo, pela regra da cadeia,
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{g(x)}\bigr) = e^{g(x)}\,g'(x).

Passo 4

Substituindo g(x) e g'(x) no resultado:
f'(x) = e^{\cos x\,\ln a}\,\bigl(-\ln a\,\sin x\bigr) = -\ln a\,\sin x \;e^{\cos x\,\ln a}.
Reescrevendo e^{\cos x\,\ln a} de volta como a^{\cos x}, obtemos
f'(x) = -a^{\cos x}\,\ln a\;\sin x.

Resposta

\boxed{\,f'(x) = -a^{\cos x}\,\ln(a)\,\sin x.}

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