Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\cos ^{n} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\cos^{n}x usando a regra da cadeia. O conteúdo envolvido é a diferenciação de uma composição de funções: uma potência com base \cos x.

Passo 2

Identificamos uma função externa g(u)=u^{n} e uma interna u(x)=\cos x. A derivada de g em relação a u é
g'(u)=n\,u^{\,n-1}.

Passo 3

A derivada da função interna u(x)=\cos x em relação a x é
u'(x) = -\sin x.

Passo 4

Pela regra da cadeia, a derivada de f(x)=g(u(x)) é
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x) = n\,(\cos x)^{\,n-1}\cdot(-\sin x) = -n\,\sin x\,(\cos x)^{\,n-1}.

Resposta

f'(x) = -n\,\sin x\,(\cos x)^{\,n-1}.

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