Utilizando as Regras de Derivação (Adição, Produto, Quociente e Raíz n-ésima), determine a derivada de cada função abaixo:
f(x)=(x^4+1) raizx

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(x^4+1r)raizx
Para isso vamos usar a regra do produto e a regra de potência (raízes são potências de expoente fracionário).

Passo 2

Reescrevemos a função em potências para facilitar:
f(x) = l(x^4+1r),x^tfrac12
Definimos
u(x)=x^4+1, v(x)=x^tfrac12

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v usando regra de potência:
u'(x)=4x^3, v'(x)=tfrac12,x^-tfrac12

Passo 4

Aplicando a regra do produto f'=u'v+uv':
f'(x) =4x^3cdot x^tfrac12 ;+;(x^4+1)cdottfrac12,x^-tfrac12 =4x^tfrac72 + x^4+12,x^tfrac12
Agora colocamos tudo sobre o mesmo denominador 2x^1/2:
4x^tfrac72 =8x^42,x^tfrac12,
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f'(x) =8x^42,x^tfrac12+x^4+12,x^tfrac12 =9x^4+12,x^tfrac12 =9x^4+12raizx

Resposta

f'(x)=9x^4+12raizx

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