Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações fornecidas: a função é uma razão (quociente) entre o numerador
e o denominador
. A tarefa é encontrar
, a derivada de
em função de
. Não há outras condições no enunciado.
Passo 2
Para escolher o método: como a função é uma fração em que tanto o numerador quanto o denominador dependem de
, o método direto e mais simples é usar a regra do quociente. A regra do quociente diz o seguinte: se
então
Aqui vou identificar
e
. Vou aplicar essa fórmula passo a passo. (Se você não lembra, a regra do quociente vem da regra do produto combinada com a derivada de
, mas não precisamos derivar essa demonstração agora — o importante é saber aplicar.)
Passo 3
Antes de aplicar a regra, calculamos
e
usando regra da soma e regra da potência (power rule). A regra da potência diz que a derivada de
é
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora substituímos
,
,
e
na fórmula da regra do quociente:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandimos
:
Agora expandimos
:
Passo 6
Subtraímos as duas expansões no numerador:
Cancele
e combine os termos restantes:
Assim o numerador simplificado é
.
Passo 7
Portanto a derivada simplificada é
Observação importante: como
para todo
, o denominador nunca é zero e
está definida para todo
real.