Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
h(x)=\frac{x^{2}+x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=\frac{x^{2}+x}{x^{2}+1}.
Informações fornecidas: a função é uma razão (quociente) entre o numerador x^{2}+x e o denominador x^{2}+1. A tarefa é encontrar h'(x), a derivada de h em função de x. Não há outras condições no enunciado.

Passo 2

Para escolher o método: como a função é uma fração em que tanto o numerador quanto o denominador dependem de x, o método direto e mais simples é usar a regra do quociente. A regra do quociente diz o seguinte: se
h(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui vou identificar u(x)=x^{2}+x e v(x)=x^{2}+1. Vou aplicar essa fórmula passo a passo. (Se você não lembra, a regra do quociente vem da regra do produto combinada com a derivada de 1/v, mas não precisamos derivar essa demonstração agora — o importante é saber aplicar.)

Passo 3

Antes de aplicar a regra, calculamos u'(x) e v'(x) usando regra da soma e regra da potência (power rule). A regra da potência diz que a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}.
Para u(x)=x^{2}+x:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(x)=2x+1.
Para v(x)=x^{2}+1:
v'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(1)=2x+0=2x.

Passo 4

Agora substituímos u, v, u' e v' na fórmula da regra do quociente:
h'(x)=\frac{(2x+1)(x^{2}+1)-(x^{2}+x)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandimos (2x+1)(x^{2}+1):
(2x+1)(x^{2}+1)=2x\cdot x^{2}+2x\cdot 1+1\cdot x^{2}+1\cdot 1=2x^{3}+2x+x^{2}+1.
Agora expandimos (x^{2}+x)(2x):
(x^{2}+x)(2x)=2x\cdot x^{2}+2x\cdot x=2x^{3}+2x^{2}.

Passo 6

Subtraímos as duas expansões no numerador:
\bigl(2x^{3}+x^{2}+2x+1\bigr)-\bigl(2x^{3}+2x^{2}\bigr).
Cancele 2x^{3} e combine os termos restantes:
2x^{3}-2x^{3} + x^{2}-2x^{2} + 2x + 1 = -x^{2}+2x+1.
Assim o numerador simplificado é -x^{2}+2x+1.

Passo 7

Portanto a derivada simplificada é
h'(x)=\frac{-x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)^{2}}.
Observação importante: como x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}, o denominador nunca é zero e h'(x) está definida para todo x real.

Resposta

h'(x)=\frac{-x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)^{2}}

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