Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
h(x)=\frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{sec} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=\frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{sec} x}.
Informações dadas: a função está escrita em termos de funções trigonométricas \operatorname{tg}x (tangente) e \operatorname{sec} x (secante). A tarefa é encontrar h'(x), a derivada de h em relação a x. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão algébrica antes de derivar — muitas vezes isso torna a derivada muito mais simples.
Usamos as definições básicas:
\operatorname{tg}x=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}.
Substituindo na expressão de h(x):
h(x)=\frac{\tan x}{\operatorname{sec} x} =\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}}.
Agora simplificamos a fração complexa: dividir por \frac{1}{\cos x} é o mesmo que multiplicar por \cos x:
h(x)=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \cos x=\sin x.
Portanto, algebraicamente, h(x)=\sin x (no domínio onde a expressão original está definida — veja o próximo passo).

Passo 3

Comentário sobre domínio (importante para a prova): a função original \displaystyle h(x)=\frac{\tan x}{\operatorname{sec} x} só está definida quando \cos x\neq 0, porque tanto \tan x quanto \operatorname{sec} x usam \cos x no denominador. A simplificação para \sin x é válida como identidade algébrica, mas a função original não existe em pontos onde \cos x=0. Logo, o resultado da derivada que encontrarmos vale nos pontos onde h está definida, isto é, para x tais que \cos x\neq 0.

Passo 4

Agora derivamos a função simplificada. Usamos a derivada conhecida da função seno. Vou relembrar e demonstrar rapidamente por que
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
Definição de derivada (limite):
\frac{d}{dx}\sin x=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}.
Usamos a fórmula da soma para seno:
\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h.
Substituindo:
\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} =\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h} =\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}.
Tomando o limite h\to0 e usando os limites trigonométricos clássicos
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1,\qquad \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0,
obtemos
\frac{d}{dx}\sin x=\sin x\cdot 0+\cos x\cdot 1=\cos x.
Portanto, a regra que usaremos é \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.

Passo 5

Aplicando a regra ao nosso caso: como h(x)=\sin x (nos pontos do domínio original),
h'(x)=\cos x.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, útil na prova se quiser mostrar mais desenvolvimento): aplicar a regra do quociente diretamente em h(x)=\dfrac{\tan x}{\operatorname{sec} x} e confirmar que dá o mesmo resultado.
Regra do quociente: se u(x)=\tan x e v(x)=\operatorname{sec} x, então
h'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Sabemos que u'=\dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x e v'=\dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x. Substituindo:
h'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2 x\cdot\operatorname{sec} x-\tan x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)}{\operatorname{sec}^2 x} =\frac{\operatorname{sec}^3 x-\operatorname{sec} x\tan^2 x}{\operatorname{sec}^2 x} =\frac{\operatorname{sec} x(\operatorname{sec}^2 x-\tan^2 x)}{\operatorname{sec}^2 x}.
Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^2 x-\tan^2 x=1, obtemos
h'(x)=\frac{\operatorname{sec} x\cdot 1}{\operatorname{sec}^2 x}=\frac{1}{\operatorname{sec} x}=\cos x,
confirmando o resultado anterior. Novamente, esta manipulação faz sentido apenas onde \operatorname{sec} x é definido ( \cos x\neq 0).

Resposta

h'(x)=\cos x para x tal que \cos x\neq 0.

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