Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas: a função está escrita em termos de funções trigonométricas
(tangente) e
(secante). A tarefa é encontrar
, a derivada de
em relação a
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão algébrica antes de derivar — muitas vezes isso torna a derivada muito mais simples.
Usamos as definições básicas:
Substituindo na expressão de
:
Agora simplificamos a fração complexa: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
:
Portanto, algebraicamente,
(no domínio onde a expressão original está definida — veja o próximo passo).
Passo 3
Comentário sobre domínio (importante para a prova): a função original
só está definida quando
, porque tanto
quanto
usam
no denominador. A simplificação para
é válida como identidade algébrica, mas a função original não existe em pontos onde
. Logo, o resultado da derivada que encontrarmos vale nos pontos onde
está definida, isto é, para
tais que
.
Passo 4
Agora derivamos a função simplificada. Usamos a derivada conhecida da função seno. Vou relembrar e demonstrar rapidamente por que
Definição de derivada (limite):
Usamos a fórmula da soma para seno:
Substituindo:
Tomando o limite
e usando os limites trigonométricos clássicos
obtemos
Portanto, a regra que usaremos é
.
Passo 5
Aplicando a regra ao nosso caso: como
(nos pontos do domínio original),
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, útil na prova se quiser mostrar mais desenvolvimento): aplicar a regra do quociente diretamente em
e confirmar que dá o mesmo resultado.
Regra do quociente: se
e
, então
Sabemos que
e
. Substituindo:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
confirmando o resultado anterior. Novamente, esta manipulação faz sentido apenas onde
é definido (
).