Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
h(x)=\frac{\cos x}{x^{2}+5 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=\frac{\cos x}{x^{2}+5x+1}.
Informações dadas que vamos usar: o numerador é \cos x e o denominador é o polinômio x^{2}+5x+1. A pergunta única é: calcular h'(x), a derivada de h em termos de x.

Passo 2

Método escolhido: aplicar a regra do quociente. Vou escrevê-la e explicar com calma.
Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis e v(x)\neq 0, então a derivada do quociente \dfrac{u(x)}{v(x)} é dada por
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui:
  • u(x) é a função do numerador;
  • v(x) é a função do denominador;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
    A fórmula diz: derive o numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador. É uma forma direta e muito usada em provas.

Passo 3

Identificamos u(x) e v(x) e calculamos suas derivadas.
Defina
u(x)=\cos x,\qquad v(x)=x^{2}+5x+1.
Agora, as derivadas (explicando cada uma):
  • A derivada de \cos x é -\sin x. Ou seja,
u'(x)=(\cos x)'=-\sin x.
Breve comentário didático: a função \cos x tem taxa de variação negativa quando passa por x=0, por isso o sinal negativo aparece; memorize que (\cos x)'=-\sin x.
  • A derivada de um polinômio é feita termo a termo usando a regra (x^{n})'=n x^{n-1} e a linearidade. Assim,
v'(x)=(x^{2})'+(5x)'+(1)'=2x+5+0=2x+5.
Ou seja, (x^{2})'=2x, (5x)'=5 e a constante some.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} substituindo u,u',v,v'.
Substituindo:
h'(x)=\frac{(-\sin x)\,(x^{2}+5x+1)-(\cos x)\,(2x+5)}{(x^{2}+5x+1)^{2}}.
Podemos organizar o numerador fatorando o sinal negativo para ficar mais limpinho:
h'(x)=-\frac{\sin x\,(x^{2}+5x+1)+\cos x\,(2x+5)}{(x^{2}+5x+1)^{2}}.
Essa é uma forma final conveniente: numerador e denominador claramente apresentados e o denominador está ao quadrado, como manda a regra.

Passo 5

Dica rápida para a prova (motivação): há outra maneira equivalente — escrever h(x)=\cos x\cdot (x^{2}+5x+1)^{-1} e usar a regra do produto mais a regra da cadeia — o resultado dá exatamente a mesma expressão. Na hora da prova escolha a forma com que você se sente mais confortável; a regra do quociente é direta aqui. Força: você já fez a parte mais chatinha — aplicar a fórmula — e o resultado está pronto!

Resposta

h'(x)=-\frac{\sin x\,(x^{2}+5x+1)+\cos x\,(2x+5)}{(x^{2}+5x+1)^{2}}

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