Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas que vamos usar: o numerador é
e o denominador é o polinômio
. A pergunta única é: calcular
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Método escolhido: aplicar a regra do quociente. Vou escrevê-la e explicar com calma.
Se
e
são funções diferenciáveis e
, então a derivada do quociente
é dada por
Aqui:
-
é a função do numerador; -
é a função do denominador; -
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a .
A fórmula diz: derive o numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador. É uma forma direta e muito usada em provas.
Passo 3
Identificamos
e
e calculamos suas derivadas.
Defina
Agora, as derivadas (explicando cada uma):
- A derivada de
é . Ou seja,
Breve comentário didático: a função
tem taxa de variação negativa quando passa por
, por isso o sinal negativo aparece; memorize que
.
- A derivada de um polinômio é feita termo a termo usando a regra
e a linearidade. Assim,
Ou seja,
,
e a constante some.
Passo 4
Agora aplicamos a regra do quociente
substituindo
.
Substituindo:
Podemos organizar o numerador fatorando o sinal negativo para ficar mais limpinho:
Essa é uma forma final conveniente: numerador e denominador claramente apresentados e o denominador está ao quadrado, como manda a regra.
Passo 5
Dica rápida para a prova (motivação): há outra maneira equivalente — escrever
e usar a regra do produto mais a regra da cadeia — o resultado dá exatamente a mesma expressão. Na hora da prova escolha a forma com que você se sente mais confortável; a regra do quociente é direta aqui. Força: você já fez a parte mais chatinha — aplicar a fórmula — e o resultado está pronto!