Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
(\mathrm{k}) h(x)=x^{4} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=x^{4}e^{x}.
Informações dadas: a função é o produto de duas partes, uma parte polinomial x^{4} e uma parte exponencial e^{x}. O objetivo é obter h'(x), a derivada de h em função de x.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto porque a função é produto de duas funções diferenciáveis. A regra do produto diz:
(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g'.
Aqui f e g são funções de x; f' é a derivada de f em relação a x e g' é a derivada de g em relação a x. Ou seja, para derivar um produto você deriva uma parte e multiplica pela outra, somando com a parte não derivada vezes a derivada da outra.

Passo 3

Identificamos as duas funções:
f(x)=x^{4},\qquad g(x)=e^{x}.
Agora vamos derivar cada uma separadamente.

Passo 4

Derivada de f(x)=x^{4}: usamos a regra da potência. A regra da potência afirma que, para todo real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando com n=4, obtemos
f'(x)=4x^{3}.

Passo 5

Derivada de g(x)=e^{x}: uma propriedade importante da função exponencial é que sua derivada é ela mesma:
g'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto \,(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g'\,. Substituindo f,f',g,g' encontrados:
h'(x)=4x^{3}\cdot e^{x} + x^{4}\cdot e^{x}.

Passo 7

Fatoramos para simplificar e deixar a expressão mais limpa. Podemos fatorar e^{x} comum:
h'(x)=e^{x}\bigl(4x^{3}+x^{4}\bigr).
Também podemos fatorar x^{3} ficando uma forma ainda mais compacta:
h'(x)=x^{3}e^{x}\bigl(4+x\bigr).

Passo 8

Dica rápida para a prova: ao ver algo do tipo x^{n}e^{x}, aplique diretamente a regra do produto, derive x^{n} pelo poder e reconheça que a derivada de e^{x} continua e^{x}. Sempre que possível, faça fatoração final para simplificar a forma da resposta — isso ajuda a checar erros por inspeção.

Resposta

h'(x)=x^{3}e^{x}(x+4)

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