Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas: a função é o produto de duas partes, uma parte polinomial
e uma parte exponencial
. O objetivo é obter
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Vamos usar a regra do produto porque a função é produto de duas funções diferenciáveis. A regra do produto diz:
Aqui
e
são funções de
;
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
. Ou seja, para derivar um produto você deriva uma parte e multiplica pela outra, somando com a parte não derivada vezes a derivada da outra.
Passo 3
Identificamos as duas funções:
Agora vamos derivar cada uma separadamente.
Passo 4
Derivada de
: usamos a regra da potência. A regra da potência afirma que, para todo real
,
Aplicando com
, obtemos
Passo 5
Derivada de
: uma propriedade importante da função exponencial é que sua derivada é ela mesma:
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto
. Substituindo
encontrados:
Passo 7
Fatoramos para simplificar e deixar a expressão mais limpa. Podemos fatorar
comum:
Também podemos fatorar
ficando uma forma ainda mais compacta:
Passo 8
Dica rápida para a prova: ao ver algo do tipo
, aplique diretamente a regra do produto, derive
pelo poder e reconheça que a derivada de
continua
. Sempre que possível, faça fatoração final para simplificar a forma da resposta — isso ajuda a checar erros por inspeção.