Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
h(x)=x^{2} \cos x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \,h(x)=x^{2}\cos x\,.
Informações dadas: a função é o produto de duas funções: \,u(x)=x^{2}\, e \,v(x)=\cos x\,.
Objetivo explícito: encontrar h'(x).

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra do produto. Ela diz que, para duas funções diferenciáveis \,u(x)\, e \,v(x)\,,
(u\cdot v)' = u'v + uv'.
Aqui u' é a derivada de u em relação a x e v' é a derivada de v em relação a x. Intuição rápida: a taxa de variação do produto é a soma da taxa de variação de cada fator multiplicada pelo outro fator (é como distribuir a variação).

Passo 3

Calcular a derivada de \,u(x)=x^{2}\,. Usamos a regra do poder (power rule): para \,x^{n}\,,
\frac{d}{dx}x^{n} = n x^{n-1}.
Aplicando com n=2,
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
Exemplo mental: para x^{3} a derivada seria 3x^{2} — mesmo padrão.

Passo 4

Calcular a derivada de \,v(x)=\cos x\,. A derivada do cosseno é o negativo do seno:
v'(x)=\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x.
Lembre-se: derivada de \cos é -\sin; derivada de \sin é \cos.

Passo 5

Aplicar a regra do produto com os resultados obtidos. Substituindo u,u',v,v' na fórmula:
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=2x\cdot\cos x + x^{2}\cdot(-\sin x).

Passo 6

Simplificar a expressão:
h'(x)=2x\cos x - x^{2}\sin x.
Opcionalmente podemos fatorar x:
h'(x)=x\bigl(2\cos x - x\sin x\bigr).
São formas equivalentes; escolha a que achar mais limpa na prova.

Resposta

h'(x)=2x\cos x - x^{2}\sin x

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