Utilizando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções dadas:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a derivada da função dada. As informações fornecidas são:
A tarefa é encontrar
, a derivada de
em relação a
, usando regras de derivação.
Passo 2
Antes de começar a calcular, vamos revisar e entender as regras que vamos usar. Vou explicar de forma bem direta e com exemplos fáceis.
Regra da soma:
Isto significa que a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Regra do fator constante:
onde
é uma constante. Ou seja, fatores constantes saem na frente quando derivamos.
Regra da potência (a mais importante aqui):
onde
é um número real (na prática, aqui usamos
inteiro positivo). Exemplo:
.
Regra da derivada de constante:
para qualquer constante
.
Resumo prático: para cada termo do tipo
a derivada é
. Para um termo
(onde
tem expoente
) a derivada é
. Para uma constante, dá
.
Passo 3
Vamos aplicar as regras termo a termo na função
Reescrevo como soma de cinco termos e vou derivar cada um separadamente usando regra do fator constante e regra da potência.
Passo 4
Derivada do primeiro termo
:
Usamos . Aqui
e
.
Usamos
Passo 5
Derivada do segundo termo
:
Aqui e
.
Aqui
Passo 6
Derivada do terceiro termo
:
Aqui e
.
Aqui
(Repare que
normalmente escrevemos só como
.)
Passo 7
Derivada do quarto termo
:
Trata-se de com
e expoente
, então a derivada é
.
Trata-se de
Passo 8
Derivada do quinto termo
(constante):
Pela regra da derivada de constante,
Pela regra da derivada de constante,
Passo 9
Agora somamos todas as derivadas parciais (regra da soma):
Eliminando o
que não altera nada, obtemos a forma final simplificada.