Utilizando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções dadas:
f(x)=3 x^{5}+2 x^{3}-7 x^{2}+4 x-1

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a derivada da função dada. As informações fornecidas são:
f(x)=3 x^{5}+2 x^{3}-7 x^{2}+4 x-1.
A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x, usando regras de derivação.

Passo 2

Antes de começar a calcular, vamos revisar e entender as regras que vamos usar. Vou explicar de forma bem direta e com exemplos fáceis.
Regra da soma:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x).
Isto significa que a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Regra do fator constante:
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot u(x)\bigr)=a\cdot\frac{d}{dx}u(x),
onde a é uma constante. Ou seja, fatores constantes saem na frente quando derivamos.
Regra da potência (a mais importante aqui):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1},
onde n é um número real (na prática, aqui usamos n inteiro positivo). Exemplo: \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
Regra da derivada de constante:
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0,
para qualquer constante c.
Resumo prático: para cada termo do tipo a x^{n} a derivada é a\cdot n x^{n-1}. Para um termo b x (onde x tem expoente 1) a derivada é b. Para uma constante, dá 0.

Passo 3

Vamos aplicar as regras termo a termo na função
f(x)=3 x^{5}+2 x^{3}-7 x^{2}+4 x-1.
Reescrevo como soma de cinco termos e vou derivar cada um separadamente usando regra do fator constante e regra da potência.

Passo 4

Derivada do primeiro termo \,3 x^{5}\,:
Usamos \frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n x^{n-1}. Aqui a=3 e n=5.
\frac{d}{dx}\bigl(3 x^{5}\bigr)=3\cdot 5 x^{4}=15 x^{4}.

Passo 5

Derivada do segundo termo \,2 x^{3}\,:
Aqui a=2 e n=3.
\frac{d}{dx}\bigl(2 x^{3}\bigr)=2\cdot 3 x^{2}=6 x^{2}.

Passo 6

Derivada do terceiro termo \,-7 x^{2}\,:
Aqui a=-7 e n=2.
\frac{d}{dx}\bigl(-7 x^{2}\bigr)=-7\cdot 2 x^{1}=-14 x.
(Repare que x^{1} normalmente escrevemos só como x.)

Passo 7

Derivada do quarto termo \,4 x\,:
Trata-se de a x com a=4 e expoente 1, então a derivada é a.
\frac{d}{dx}\bigl(4 x\bigr)=4.

Passo 8

Derivada do quinto termo \,-1\, (constante):
Pela regra da derivada de constante,
\frac{d}{dx}(-1)=0.

Passo 9

Agora somamos todas as derivadas parciais (regra da soma):
f'(x)=15 x^{4}+6 x^{2}-14 x+4+0.
Eliminando o +0 que não altera nada, obtemos a forma final simplificada.

Resposta

f'(x)=15 x^{4}+6 x^{2}-14 x+4

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