Utilizando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções dadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
A tarefa é encontrar
, a derivada de
com respeito a
. Não vamos resolver nada ainda além de identificar o que é pedido.
Passo 2
Relembre as regras de derivação que vamos usar (vou explicar cada uma devagarinho):
Isto diz que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Aqui
e
são funções quaisquer;
e
são suas derivadas.
onde
é um número constante (ex.:
). A derivada de um número fixo é zero.
ou seja, uma constante multiplicando uma função sai da derivada.
onde
é um número real. Aqui
é a variável;
é o expoente. Essa é a principal que vamos aplicar a
e a
.
Passo 3
Derivada do termo constante
.
Pelo enunciado temos o termo constante
. Aplicando a regra da constante:
Explicação curta: constantes não mudam quando
varia, então a inclinação é zero.
Passo 4
Derivada do termo
.
Primeiro reconheça que é um produto de uma constante
por
. Usamos a regra da constante multiplicativa + regra de potência.
A derivada de
é, pela regra de potência,
Multiplicando pela constante
,
Pequeno comentário: fazemos
que dá
, e diminuímos o expoente em
(de
para
).
Passo 5
Derivada do termo
.
Primeiro reescrevemos
como potência:
Agora aplicamos a regra de potência com
:
Reescrevendo
como raiz,
Observação importante de domínio: essa expressão
está definida para
. A função
está definida para
, mas a fórmula da derivada dessa forma classicamente vale para
. Em
a derivada tende a infinito (não é finita).
Passo 6
Juntando tudo pela regra da soma.
Somamos as derivadas dos termos que calculamos nos passos anteriores:
derivada de é
,
derivada de é
,
derivada de é
.
derivada de
derivada de
derivada de
Portanto
Lembrete: a forma
é válida para
; se precisar do domínio completo da derivada, dizemos que
é diferenciável para
.