Utilizando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções dadas:
f(x)=1-5 x^{6}+\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=1-5x^{6}+\sqrt{x}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{(i)}\; f(x)=1-5x^{6}+\sqrt{x}.
\text{(ii)}\; \sqrt{x} \text{ indica a raiz quadrada de } x \text{ (ou seja } x^{1/2}\text{)}.
A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f com respeito a x. Não vamos resolver nada ainda além de identificar o que é pedido.

Passo 2

Relembre as regras de derivação que vamos usar (vou explicar cada uma devagarinho):
\text{(Regra da soma)}:\quad \frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=u'(x)+v'(x).
Isto diz que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Aqui u(x) e v(x) são funções quaisquer; u'(x) e v'(x) são suas derivadas.
\text{(Regra da constante)}:\quad \frac{d}{dx}C=0,
onde C é um número constante (ex.: 1). A derivada de um número fixo é zero.
\text{(Constante multiplicativa)}:\quad \frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x),
ou seja, uma constante multiplicando uma função sai da derivada.
\text{(Regra de potência)}:\quad \frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1},ê
onde n é um número real. Aqui x é a variável; n é o expoente. Essa é a principal que vamos aplicar a x^{6} e a x^{1/2}.

Passo 3

Derivada do termo constante 1.
Pelo enunciado temos o termo constante 1. Aplicando a regra da constante:
\frac{d}{dx}1=0.
Explicação curta: constantes não mudam quando x varia, então a inclinação é zero.

Passo 4

Derivada do termo -5x^{6}.
Primeiro reconheça que é um produto de uma constante -5 por x^{6}. Usamos a regra da constante multiplicativa + regra de potência.
A derivada de x^{6} é, pela regra de potência,
\frac{d}{dx}x^{6}=6x^{5}.
Multiplicando pela constante -5,
\frac{d}{dx}\big(-5x^{6}\big)=-5\cdot 6x^{5}=-30x^{5}.
Pequeno comentário: fazemos -5\times 6 que dá -30, e diminuímos o expoente em 1 (de 6 para 5).

Passo 5

Derivada do termo \sqrt{x}.
Primeiro reescrevemos \sqrt{x} como potência:
\sqrt{x}=x^{1/2}.
Agora aplicamos a regra de potência com n=\tfrac{1}{2}:
\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{1/2-1}=\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Reescrevendo x^{-1/2} como raiz,
\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Observação importante de domínio: essa expressão \frac{1}{2\sqrt{x}} está definida para x>0. A função \sqrt{x} está definida para x\ge 0, mas a fórmula da derivada dessa forma classicamente vale para x>0. Em x=0 a derivada tende a infinito (não é finita).

Passo 6

Juntando tudo pela regra da soma.
Somamos as derivadas dos termos que calculamos nos passos anteriores:
derivada de 1 é 0,
derivada de -5x^{6} é -30x^{5},
derivada de \sqrt{x} é \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
Portanto
f'(x)=0-30x^{5}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=-30x^{5}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Lembrete: a forma \dfrac{1}{2\sqrt{x}} é válida para x>0; se precisar do domínio completo da derivada, dizemos que f é diferenciável para x>0.

Resposta

f'(x)=-30x^{5}+\frac{1}{2\sqrt{x}}

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