Utilizando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções dadas:
f(x)=\frac{1}{x^{4}}+\frac{2}{x^{3}}-\frac{5}{x}+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{1}{x^{4}}+\frac{2}{x^{3}}-\frac{5}{x}+3.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função está escrita com potências no denominador; todos os termos são funções de x.
  • Domínio relevante: x\neq0 (porque há divisões por x).
  • Pedido: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever cada termo como potência de x com expoente negativo. Isso facilita aplicar a regra do poder (power rule). Convertendo:
\frac{1}{x^{4}} = x^{-4},\qquad \frac{2}{x^{3}} = 2x^{-3},\qquad \frac{5}{x} = 5x^{-1}.
Logo podemos escrever
f(x)=x^{-4}+2x^{-3}-5x^{-1}+3.

Passo 3

Vou lembrar as regras de derivação que vou usar (explicando de forma bem didática):
  • Regra do poder: para qualquer número real n,
\text{se } g(x)=x^{n},\\ \text{então } g'(x)=n x^{n-1}.ã
Aqui n é o expoente e x é a variável; aplicamos multiplicando pelo expoente e diminuindo o expoente em 1.
  • Linearidade: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas.
  • Constante: a derivada de uma constante é 0.
  • Constante multiplicativa: se h(x)=c\cdot u(x) com c constante, então h'(x)=c\cdot u'(x).

Passo 4

Aplicando a regra do poder termo a termo. Vou derivar cada termo reescrito em potências:
Derivada de \;x^{-4}: aqui n=-4. Pela regra do poder,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-4}\bigr) = -4\,x^{-5}.
Derivada de \;2x^{-3}: coloquei a constante 2 fora; o expoente é -3. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{-3}\bigr) = 2\cdot(-3)\,x^{-4} = -6\,x^{-4}.
Derivada de \;-5x^{-1}: expoente -1 e constante -5. Assim
\frac{d}{dx}\bigl(-5x^{-1}\bigr) = -5\cdot(-1)\,x^{-2} = 5\,x^{-2}.
Derivada de \;3: é constante, então
\frac{d}{dx}(3)=0.

Passo 5

Agora juntamos todas as derivadas, usando a linearidade (soma das derivadas):
f'(x) = -4\,x^{-5} -6\,x^{-4} +5\,x^{-2} + 0.
Podemos omitir o +0 e reescrever de forma mais comum em frações (se preferir ficar com denominadores positivos):
f'(x) = -\frac{4}{x^{5}} - \frac{6}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}}.

Resposta

f'(x) = -\frac{4}{x^{5}} - \frac{6}{x^{4}} + \frac{5}{x^{2}}

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