Utilizando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções dadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações importantes:
- A função está escrita com potências no denominador; todos os termos são funções de
. - Domínio relevante:
(porque há divisões por ). - Pedido: encontrar
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever cada termo como potência de
com expoente negativo. Isso facilita aplicar a regra do poder (power rule). Convertendo:
Logo podemos escrever
Passo 3
Vou lembrar as regras de derivação que vou usar (explicando de forma bem didática):
- Regra do poder: para qualquer número real
,
Aqui
é o expoente e
é a variável; aplicamos multiplicando pelo expoente e diminuindo o expoente em
.
- Linearidade: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas.
- Constante: a derivada de uma constante é
. - Constante multiplicativa: se
com constante, então .
Passo 4
Aplicando a regra do poder termo a termo. Vou derivar cada termo reescrito em potências:
Derivada de
: aqui
. Pela regra do poder,
Derivada de
: coloquei a constante
fora; o expoente é
. Logo
Derivada de
: expoente
e constante
. Assim
Derivada de
: é constante, então
Passo 5
Agora juntamos todas as derivadas, usando a linearidade (soma das derivadas):
Podemos omitir o
e reescrever de forma mais comum em frações (se preferir ficar com denominadores positivos):