Utilizando regras de derivação previamente estabelecidas, calcule as derivadas das seguintes funções.
Deduza a seguinte fórmula de derivação:
(f g h)^prime=f^prime g h+f g^prime h+f g h^prime
Dê um bom palpite (chute) sobre como seria a fórmula para (f1 f2 cdots fn-1 fn)^prime.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a regra do produto para três funções e, em seguida, generalizar para o produto de n funções. Vamos usar como ferramenta a regra do produto para duas funções, que diz
(u v)' = u' v + u,v',
aplicando-a de forma inteligente.

Passo 2

Considere o produto de três funções f, g e h. Agrupamos os dois primeiros fatores definindo
u(x)=f(x),g(x), v(x)=h(x)
Pela regra do produto para u e v temos
(u,v)'=u',v+u,v'
Mas, pela regra do produto aplicada a f e g,
u'=(f,g)'=f',g+f,g'
Substituindo em (u,v)'=u',v+u,v' resulta
(fgcdot h)'=l(f',g+f,g'r)h + (f,g),h'
e, ao distribuir,
(f,g,h)'=f',g,h + f,g',h + f,g,h'

Passo 3

Fica claro o padrão: ao derivar o produto de três funções, somamos três termos em que cada termo é a derivada de um dos fatores multiplicada pelos outros dois fatores sem derivar.

Passo 4

Para o caso de n fatores f1,f2,dots,fn, o palpite natural é que cada termo da soma venha de derivar exatamente um fator, deixando os demais intactos. Assim, conjecturamos
l(f1f2cdots fnr)' = sumi=1^n l(f1cdots fi-1,fi',fi+1cdots fnr)

Resposta

(f1f2cdots fn)' = sumi=1^n f1cdots fi-1,fi',fi+1cdots fn

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