(Vale: 2,0) Sejam as funções vetoriais
e
. Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções vetoriais,
e
, e precisa calcular o limite do produto escalar dessas funções quando
se aproxima de 2. Vamos usar conhecimentos de cálculo de limites e de produto escalar de vetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores. Se tivermos dois vetores
e
, o produto escalar
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos escrever as funções vetoriais dadas:
Passo 4
Aplicando a fórmula do produto escalar, temos:
Simplificando cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 5
Juntando tudo, o produto escalar fica:
Passo 6
Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando
se aproxima de 2:
Passo 7
Vamos substituir
por 2 na expressão:
Passo 8
Somando tudo:
Resposta
O limite
é igual a 108.