(Vale: 2,0) Sejam as funções vetoriais f(t)=t^2 i+5 j-2 t^3 k e g(t)=-3 i-4 t j-5 t k. Calcule:
lim t 2 f(t) cdot g(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções vetoriais, f(t) e g(t), e precisa calcular o limite do produto escalar dessas funções quando t se aproxima de 2. Vamos usar conhecimentos de cálculo de limites e de produto escalar de vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores. Se tivermos dois vetores a = a1i + a2j + a3k e b = b1i + b2j + b3k, o produto escalar a cdot b é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Passo 3

Agora, vamos escrever as funções vetoriais dadas:
f(t) = t^2 i + 5 j - 2 t^3 k
g(t) = -3 i - 4 t j - 5 t k

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto escalar, temos:
f(t) cdot g(t) = (t^2)(-3) + (5)(-4 t) + (-2 t^3)(-5 t)
Simplificando cada termo:
  • Primeiro termo: t^2 times (-3) = -3t^2
  • Segundo termo: 5 times (-4 t) = -20t
  • Terceiro termo: -2 t^3 times (-5 t) = 10 t^4

Passo 5

Juntando tudo, o produto escalar fica:
f(t) cdot g(t) = -3t^2 - 20t + 10t^4

Passo 6

Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando t se aproxima de 2:
limt to 2 (-3t^2 - 20t + 10t^4)

Passo 7

Vamos substituir t por 2 na expressão:
-3(2)^2 - 20(2) + 10(2)^4 = -3(4) - 40 + 10(16) = -12 - 40 + 160

Passo 8

Somando tudo:
-12 - 40 + 160 = 108

Resposta

O limite lim t 2 f(t) cdot g(t) é igual a 108.

Exercícios relacionados