Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - O domínio natural dessa função é
(porque só está definida para ).
A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Decisão do método (sem mistério): a função é um produto de duas funções simples:
e
. Para derivar um produto usamos a regra do produto, que diz:
Aqui
e
são funções de
;
e
representam as derivadas de
e
em relação a
. Vou aplicar exatamente essa regra.
Passo 3
Calcular as derivadas das partes (essas são fórmulas básicas que vale decorar):
- Regra da potência: a derivada de
(com constante) é . Aplicando em :
- Derivada do logaritmo natural: a derivada de
é (válido para ). Assim, para :
Expliquei o porquê de cada uma: a potência “desce o expoente e reduz 1” e o log natural tem derivada recíproca.
Passo 4
Aplicar a regra do produto com os valores que encontramos:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 5
Simplificar a expressão obtida:
- No segundo termo,
. Então
- Fatorando
em evidência para ficar mais elegante:
Passo 6
Observações finais e checagem rápida:
- A expressão final
está válida para , que é o domínio original da função. - Exemplo rápido de checagem: para
tem-se , então . Faz sentido porque tem derivada nula do log em deixando só o termo de .