Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
g(r)=r^{2} \cdot \ln (r)

Passo 1

O enunciado dá a função \,g(r)=r^{2}\cdot\ln(r)\, e pede a derivada de g em relação a r.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é \,g(r)=r^{2}\ln(r)\,.
  • O domínio natural dessa função é \,r>0\, (porque \ln(r) só está definida para r>0).
    A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Decisão do método (sem mistério): a função é um produto de duas funções simples: \,u(r)=r^{2}\, e \,v(r)=\ln(r)\,. Para derivar um produto usamos a regra do produto, que diz:
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u e v são funções de r; u' e v' representam as derivadas de u e v em relação a r. Vou aplicar exatamente essa regra.

Passo 3

Calcular as derivadas das partes (essas são fórmulas básicas que vale decorar):
  • Regra da potência: a derivada de \,r^{n}\, (com n constante) é \,n r^{n-1}\,. Aplicando em u(r)=r^{2}:
u'(r) = 2r.
  • Derivada do logaritmo natural: a derivada de \,\ln(r)\, é \,\dfrac{1}{r}\, (válido para r>0). Assim, para v(r)=\ln(r):
v'(r)=\frac{1}{r}.
Expliquei o porquê de cada uma: a potência “desce o expoente e reduz 1” e o log natural tem derivada recíproca.

Passo 4

Aplicar a regra do produto com os valores que encontramos:
g'(r)=u'(r)v(r)+u(r)v'(r).
Substituindo u'(r)=2r, v(r)=\ln(r), u(r)=r^{2} e v'(r)=\dfrac{1}{r}:
g'(r)=2r\cdot\ln(r) + r^{2}\cdot\frac{1}{r}.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida:
  • No segundo termo, \,r^{2}\cdot\dfrac{1}{r}=r^{2-1}=r\,. Então
g'(r)=2r\ln(r) + r.
  • Fatorando r em evidência para ficar mais elegante:
g'(r)=r\bigl(2\ln(r)+1\bigr).

Passo 6

Observações finais e checagem rápida:
  • A expressão final \,g'(r)=r\bigl(2\ln(r)+1\bigr)\, está válida para \,r>0\,, que é o domínio original da função.
  • Exemplo rápido de checagem: para r=1 tem-se \ln(1)=0, então g'(1)=1\cdot(2\cdot0+1)=1. Faz sentido porque g(r)=r^{2}\ln r tem derivada nula do log em r=1 deixando só o termo de r.

Resposta

g'(r)=r\bigl(2\ln(r)+1\bigr)

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