Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{tg}\left(\operatorname{sen}\left(2 x^{6}\right)\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: calcular a derivada da função \,f(x)=\operatorname{tg}\!\big(\operatorname{sen}(2x^{6})\big).
  • Informação dada: a função é uma composição de três funções: uma tangente por fora, um seno no meio e um polinômio 2x^{6} por dentro.
Então a tarefa é aplicar regras de derivação para funções compostas (cadeia), usando também regra do produto/constante e regra da potência onde necessário. Não se resolve isso com regra do quociente nem produto direto aqui — o principal é a regra da cadeia aplicada em cascata.

Passo 2

Ensinando a regra da cadeia de forma clara (o conceito necessário).
  • Regra da cadeia (forma prática): se F(x)=h(g(x)) então
F'(x)=h'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Isto significa: derivar a função externa avaliando-a na função interna e multiplicar pela derivada da função interna.
  • Exemplo curto e conhecido para fixar: se F(x)=\sin(x^{2}), então h(t)=\sin t e g(x)=x^{2}. Assim
F'(x)=\cos(x^{2})\cdot 2x.
Percebe? Primeiro deriva-se o seno (virando cosseno) mantendo x^{2} dentro, depois multiplica-se pela derivada de x^{2}, que é 2x.

Passo 3

As fórmulas de derivadas que vou usar (explicadas e com significado das variáveis).
  • Derivada da tangente: se y=\operatorname{tg}(u) então
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sec}^{2}(u)\cdot \frac{du}{dx}.
Aqui \operatorname{sec}(u)=\dfrac{1}{\cos(u)}, então \operatorname{sec}^{2}(u)=\dfrac{1}{\cos^{2}(u)}. Em palavras: derivar a tangente dá secante ao quadrado vezes a derivada do argumento.
  • Derivada do seno: se y=\sin(u) então
\frac{dy}{dx}=\cos(u)\cdot \frac{du}{dx}.
Ou seja, o seno vira cosseno multiplicado pela derivada do argumento.
  • Regra da potência (e constante): se u(x)=a x^{n} com a constante, então
u'(x)=a\cdot n x^{n-1}.
Exemplo: \dfrac{d}{dx}(2x^{6})=2\cdot 6 x^{5}=12x^{5}.
Vou aplicar essas três regras, do interior para o exterior, usando a cadeia duas vezes (na verdade três funções compostas → cadeia em cascata).

Passo 4

Organizar as funções internas para aplicar a cadeia passo a passo.
Defino (apenas para organizar):
u(x)=2x^{6},\qquad v(x)=\sin\big(u(x)\big),\qquad f(x)=\operatorname{tg}\big(v(x)\big).
Significado:
  • u(x) é o argumento mais interno ( 2x^6);
  • v(x) é o seno desse argumento;
  • f(x) é a tangente do seno (a função que queremos derivar).
Agora calculo as derivadas intermediárias.

Passo 5

Derivar u(x)=2x^{6}.
Usando a regra da potência com a constante multiplicativa:
u'(x)=2\cdot 6 x^{5}=12x^{5}.
Explicação: deriva-se x^{6} como 6x^{5} e multiplica-se pelo 2.

Passo 6

Derivar v(x)=\sin\big(u(x)\big) aplicando a cadeia uma vez.
Pela fórmula da derivada do seno:
v'(x)=\cos\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=2x^{6} e u'(x)=12x^{5},
v'(x)=\cos\big(2x^{6}\big)\cdot 12x^{5}.

Passo 7

Derivar f(x)=\operatorname{tg}\big(v(x)\big) aplicando a cadeia novamente.
Pela fórmula da derivada da tangente:
f'(x)=\operatorname{sec}^{2}\big(v(x)\big)\cdot v'(x).
Agora substituo v(x)=\sin(2x^{6}) e v'(x)=12x^{5}\cos(2x^{6}):
f'(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sin(2x^{6})\big)\cdot \big(12x^{5}\cos(2x^{6})\big).

Passo 8

Escrever a derivada final de forma limpa e mostrar forma alternativa (com coseno no denominador).
A expressão pode ser escrita agrupando os termos:
f'(x)=12x^{5}\cos\big(2x^{6}\big)\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sin(2x^{6})\big).
Ou, usando \operatorname{sec}^{2}(t)=\dfrac{1}{\cos^{2}(t)}, uma forma equivalente é
f'(x)=\dfrac{12x^{5}\cos\big(2x^{6}\big)}{\cos^{2}\!\big(\sin(2x^{6})\big)}.

Passo 9

Dica rápida para a prova (como reproduzir esse raciocínio passo a passo, sem erro).
  • Etapa prática: escreva as camadas internas (aqui 2x^{6}, depois \sin(\cdot), depois \operatorname{tg}(\cdot)).
  • Derive de dentro para fora: calcule a derivada do mais interno, depois suba multiplicando a cada passo (cadeia).
  • Não esqueça: cada vez que você “retira” uma função externa, multiplica pela derivada do argumento que ficou.
  • Se precisar simplificar, transforme \operatorname{sec}^{2} em 1/\cos^{2} para ficar só com cossenos e potências no denominador.
Força aí — você já tem o passo a passo completo; pratique esse processo com outras composições para ficar confortável.

Resposta

f'(x)=12x^{5}\cos\big(2x^{6}\big)\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sin(2x^{6})\big)

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