Utilizando as regras de derivação (regras do produto, do quociente e da cadeia), calcule a derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: calcular a derivada da função
. - Informação dada: a função é uma composição de três funções: uma tangente por fora, um seno no meio e um polinômio
por dentro.
Então a tarefa é aplicar regras de derivação para funções compostas (cadeia), usando também regra do produto/constante e regra da potência onde necessário. Não se resolve isso com regra do quociente nem produto direto aqui — o principal é a regra da cadeia aplicada em cascata.
Passo 2
Ensinando a regra da cadeia de forma clara (o conceito necessário).
- Regra da cadeia (forma prática): se
então
Isto significa: derivar a função externa avaliando-a na função interna e multiplicar pela derivada da função interna.
- Exemplo curto e conhecido para fixar: se
, então e . Assim
Percebe? Primeiro deriva-se o seno (virando cosseno) mantendo
dentro, depois multiplica-se pela derivada de
, que é
.
Passo 3
As fórmulas de derivadas que vou usar (explicadas e com significado das variáveis).
- Derivada da tangente: se
então
Aqui
, então
. Em palavras: derivar a tangente dá secante ao quadrado vezes a derivada do argumento.
- Derivada do seno: se
então
Ou seja, o seno vira cosseno multiplicado pela derivada do argumento.
- Regra da potência (e constante): se
com constante, então
Exemplo:
.
Vou aplicar essas três regras, do interior para o exterior, usando a cadeia duas vezes (na verdade três funções compostas → cadeia em cascata).
Passo 4
Organizar as funções internas para aplicar a cadeia passo a passo.
Defino (apenas para organizar):
Significado:
-
é o argumento mais interno ( ); -
é o seno desse argumento; -
é a tangente do seno (a função que queremos derivar).
Agora calculo as derivadas intermediárias.
Passo 5
Derivar
.
Usando a regra da potência com a constante multiplicativa:
Explicação: deriva-se
como
e multiplica-se pelo
.
Passo 6
Derivar
aplicando a cadeia uma vez.
Pela fórmula da derivada do seno:
Substituindo
e
,
Passo 7
Derivar
aplicando a cadeia novamente.
Pela fórmula da derivada da tangente:
Agora substituo
e
:
Passo 8
Escrever a derivada final de forma limpa e mostrar forma alternativa (com coseno no denominador).
A expressão pode ser escrita agrupando os termos:
Ou, usando
, uma forma equivalente é
Passo 9
Dica rápida para a prova (como reproduzir esse raciocínio passo a passo, sem erro).
- Etapa prática: escreva as camadas internas (aqui
, depois , depois ). - Derive de dentro para fora: calcule a derivada do mais interno, depois suba multiplicando a cada passo (cadeia).
- Não esqueça: cada vez que você “retira” uma função externa, multiplica pela derivada do argumento que ficou.
- Se precisar simplificar, transforme
em para ficar só com cossenos e potências no denominador.
Força aí — você já tem o passo a passo completo; pratique esse processo com outras composições para ficar confortável.