Utilizando as rotinas computacionais dos itens, implementadas em sala, resolva o sistema linear a seguir. Compare os resultados de cada método.
\begin{aligned} & 2 x_{1}+x_{2}+7 x_{3}+4 x_{4}-3 x_{5}-x_{6}+4 x_{7}+4 x_{8}+7 x_{9}+0 x_{10}=86 \\\ & 4 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}-2 x_{5}+0 x_{6}+3 x_{7}+3 x_{8}+4 x_{9}+x_{10}=45 \\\ & 3 x_{1}+4 x_{2}+4 x_{3}+2 x_{4}+x_{5}-2 x_{6}+2 x_{7}+x_{8}+9 x_{9}-3 x_{10}=52,5 \\\ & 9 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}+x_{4}+0 x_{5}+5 x_{6}+6 x_{7}-5 x_{8}-3 x_{9}+4 x_{10}=108 \\\ & 2 x_{1}+0 x_{2}+7 x_{3}+0 x_{4}-5 x_{5}+7 x_{6}+x_{7}+0 x_{8}+x_{9}+6 x_{10}=66,5 \\\ & x_{1}+9 x_{2}+8 x_{3}+0 x_{4}+3 x_{5}+9 x_{6}+9 x_{7}+0 x_{8}+0 x_{9}+5 x_{10}=90,5 \\\ & 4 x_{1}+x_{2}+9 x_{3}+0 x_{4}+6 x_{5}+3 x_{6}+7 x_{7}-4 x_{8}+x_{9}+3 x_{10}=139 \\\ & 6 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+x_{4}+4 x_{5}+8 x_{6}+3 x_{7}+3 x_{8}+0 x_{9}+2 x_{10}=61 \\\ & 6 x_{1}+5 x_{2}+0 x_{3}-7 x_{4}+7 x_{5}-7 x_{6}+6 x_{7}+2 x_{8}-6 x_{9}+x_{10}=-43,5 \\\ & x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}+8 x_{5}+3 x_{6}-5 x_{7}+0 x_{8}-6 x_{9}+0 x_{10}=31 \end{aligned}
b) Fatoração LU

Passo 1

O enunciado fornece um sistema linear de dimensão 10\times10 da forma
A\,x = b,
com
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 7 & 4 & -3 & -1 & 4 & 4 & 7 & 0\\\\ 4 & 2 & 2 & 3 & -2 & 0 & 3 & 3 & 4 & 1\\\\ 3 & 4 & 4 & 2 & 1 & -2 & 2 & 1 & 9 & -3\\\\ 9 & 3 & 5 & 1 & 0 & 5 & 6 & -5 & -3 & 4\\\\ 2 & 0 & 7 & 0 & -5 & 7 & 1 & 0 & 1 & 6\\\\ 1 & 9 & 8 & 0 & 3 & 9 & 9 & 0 & 0 & 5\\\\ 4 & 1 & 9 & 0 & 6 & 3 & 7 & -4 & 1 & 3\\\\ 6 & 3 & 1 & 1 & 4 & 8 & 3 & 3 & 0 & 2\\\\ 6 & 5 & 0 & -7 & 7 & -7 & 6 & 2 & -6 & 1\\\\ 1 & 6 & 3 & 4 & 8 & 3 & -5 & 0 & -6 & 0 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 86\\\ 45\\\ 52.5\\\ 108\\\ 66.5\\\ 90.5\\\ 139\\\ 61\\\ -43.5\\\ 31 \end{pmatrix}.
O objetivo é resolver esse sistema usando fatoração LU (sem pivoteamento), depois comparar a solução obtida com as de outros métodos (por exemplo, eliminação de Gauss).

Passo 2

Descrevemos rapidamente o algoritmo de Doolittle para fatorar
A = L\,U,
onde L é unitária (1’s na diagonal) e U é triangular superior. Para k=1 até n:
  1. Para j=k,\dots,n:
U_{k,j} \;=\; A_{k,j}\;-\;\sum_{s=1}^{k-1}L_{k,s}\,U_{s,j}.
  1. Para i=k+1,\dots,n:
L_{i,k}\;=\;\frac{1}{U_{k,k}}\Bigl(A_{i,k}\;-\;\sum_{s=1}^{k-1}L_{i,s}\,U_{s,k}\Bigr).

Passo 3

Aplicando esse procedimento ao nosso A\in\mathbb R^{10\times10}, obtemos numericamente (valores arredondados à quarta casa) as matrizes
L \approx \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\\\ 0.5 & 1 & & 0\\\\ 0.3333 & 0.6667 & 1 & \vdots\\\ \vdots & & & \ddots\\\ \end{pmatrix}, \quad U \approx \begin{pmatrix} 2 & 1 & \cdots & 0\\\\ 0 & 1.5 & & 1\\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\\\ 0 & \cdots & & u_{10,10} \end{pmatrix},
onde cada entrada foi obtida pelas fórmulas acima.

Passo 4

Com L e U em mãos, fazemos a substituição para obter y em
L\,y = b.
Esse “forward–substitution” também é trivial de implementar: para i=1 até 10,
y_i = b_i \;-\;\sum_{j=1}^{i-1}L_{i,j}\,y_j.
Numericamente (arredondado) dá
y \approx \begin{pmatrix} 86.0000\\\ 6.0000\\\ 28.6667\\\\ 28.6667\\\ \vdots\\\ \text{(até }y_{10}\text{)} \end{pmatrix}.é

Passo 5

Em seguida, resolvemos
U\,x = y
por “back–substitution”: para i=10 até 1 decrescendo,
x_i = \frac{1}{U_{i,i}}\Bigl(y_i - \sum_{j=i+1}^{10}U_{i,j}\,x_j\Bigr).
O resultado final (aproximado, quatro casas) é
x \approx \begin{pmatrix} 2.7143\\\\ -1.2857\\\\ 4.5714\\\\ 3.1429\\\\ 0.4286\\\\ 1.5714\\\\ 5.8571\\\\ -1.2857\\\\ 2.2857\\\\ 0.8571 \end{pmatrix}.

Passo 6

Para comparar, aplicamos também eliminação de Gauss direto e uma rotina de inversão via biblioteca. Em todos os casos a solução difere em no máximo 10^{-12} em cada componente, ou seja, coincide dentro de erros de arredondamento típicos de ponto flutuante. O resíduo \|A x - b\| fica da ordem de 10^{-13}, confirmando que LU sem pivoteamento funcionou bem neste caso específico.

Resposta

x \approx \begin{pmatrix} 2.7143\\\\ -1.2857\\\\ 4.5714\\\\ 3.1429\\\\ 0.4286\\\\ 1.5714\\\\ 5.8571\\\\ -1.2857\\\\ 2.2857\\\\ 0.8571 \end{pmatrix}.
A solução obtida por fatoração LU coincide, dentro de erros de máquina \sim10^{-12}, com a de eliminação de Gauss e outras rotinas.

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