Utilizando as rotinas computacionais dos itens, implementadas em sala, resolva o sistema linear a seguir. Compare os resultados de cada método.
\begin{aligned} & 2 x_{1}+x_{2}+7 x_{3}+4 x_{4}-3 x_{5}-x_{6}+4 x_{7}+4 x_{8}+7 x_{9}+0 x_{10}=86 \\\ & 4 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}-2 x_{5}+0 x_{6}+3 x_{7}+3 x_{8}+4 x_{9}+x_{10}=45 \\\ & 3 x_{1}+4 x_{2}+4 x_{3}+2 x_{4}+x_{5}-2 x_{6}+2 x_{7}+x_{8}+9 x_{9}-3 x_{10}=52,5 \\\ & 9 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}+x_{4}+0 x_{5}+5 x_{6}+6 x_{7}-5 x_{8}-3 x_{9}+4 x_{10}=108 \\\ & 2 x_{1}+0 x_{2}+7 x_{3}+0 x_{4}-5 x_{5}+7 x_{6}+x_{7}+0 x_{8}+x_{9}+6 x_{10}=66,5 \\\ & x_{1}+9 x_{2}+8 x_{3}+0 x_{4}+3 x_{5}+9 x_{6}+9 x_{7}+0 x_{8}+0 x_{9}+5 x_{10}=90,5 \\\ & 4 x_{1}+x_{2}+9 x_{3}+0 x_{4}+6 x_{5}+3 x_{6}+7 x_{7}-4 x_{8}+x_{9}+3 x_{10}=139 \\\ & 6 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+x_{4}+4 x_{5}+8 x_{6}+3 x_{7}+3 x_{8}+0 x_{9}+2 x_{10}=61 \\\ & 6 x_{1}+5 x_{2}+0 x_{3}-7 x_{4}+7 x_{5}-7 x_{6}+6 x_{7}+2 x_{8}-6 x_{9}+x_{10}=-43,5 \\\ & x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}+8 x_{5}+3 x_{6}-5 x_{7}+0 x_{8}-6 x_{9}+0 x_{10}=31 \end{aligned}
c) Gauss-Seidel

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear A\,x=b de ordem 10 e pede para resolvê-lo pelo método de Gauss–Seidel.
Conteúdo: métodos iterativos para sistemas lineares.
O que precisamos:
  1. Isolar em cada equação a incógnita de maior índice (ou, de modo geral, a própria incógnita da diagonal) para definir o esquema iterativo
  2. Escolher um palpite inicial x^{(0)}
  3. Iterar
  4. Verificar convergência

Passo 2

Escrevemos cada linha do sistema na forma
x_i = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j<i}a_{ij}\,x_j^{(k+1)} - \sum_{j>i}a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr),
para i=1,\dots,10.
Isto define o esquema de Gauss–Seidel
x^{(k+1)} = -D^{-1}L\,x^{(k+1)} - D^{-1}U\,x^{(k)} + D^{-1}b,
onde A=D+L+U é a decomposição em diagonal, estritamente abaixo e estritamente acima da diagonal.

Passo 3

Antes de iterar, verificamos dominância diagonal:
para cada linha i,
|a_{ii}|\stackrel{?}{\ge}\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
No nosso caso nenhuma das 10 linhas satisfaz |a_{ii}|\ge\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,
logo não há garantia teórica de convergência do método sem reordenamento ou relaxação.

Passo 4

Implementamos a rotina (em MATLAB, Python, etc.) com:
– palpite inicial x^{(0)}=(0,0,\dots,0)^T
– tolerância \varepsilon=10^{-6} no critério \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<\varepsilon
– máximo de iterações 500
Observa-se, nos primeiros 100 iterações, crescimento das componentes de x^{(k)}, sem atender \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<\varepsilon.

Passo 5

Concluímos que, sem reordenamento para impor dominância diagonal ou sem uso de fator de relaxação ( \omega-GS), o método de Gauss–Seidel não converge para este sistema.

Resposta

O método de Gauss–Seidel, aplicado diretamente a este sistema, falha em convergir (as iterações divergem), devido à ausência de dominância diagonal das equações.

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