De forma analítica, use o método de Gauss-Seidel para resolver:
\begin{aligned} & 20 x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=33 \\\ & x_{1}+10 x_{2}+2 x_{3}+4 x_{4}=38,4 \\\ & x_{1}+2 x_{2}+10 x_{3}+x_{4}=43,5 \\\ & 2 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}+20 x_{4}=45,6 \end{aligned} \quad \text { Considere } \mathrm{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^{\mathrm{T}}, \text { duas casas decimais e erro }<0,01

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 20x_{1}+x_{2}+x_{3}+2x_{4}=33,\\\ x_{1}+10x_{2}+2x_{3}+4x_{4}=38,4,\\\ x_{1}+2x_{2}+10x_{3}+x_{4}=43,5,\\\\ 2x_{1}+4x_{2}+x_{3}+20x_{4}=45,6, \end{cases}
usando o método de Gauss–Seidel com chute inicial \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0,0)^{\mathrm{T}}, arredondando cada iteração para duas casas decimais e parando quando a variação máxima entre iterações for menor que 0,01.

Passo 2

Para aplicar Gauss–Seidel, isolamos cada variável em cada equação, usando sempre os valores mais recentes:
x_{1}=\frac{33 - x_{2} - x_{3} - 2x_{4}}{20}, \quad x_{2}=\frac{38,4 - x_{1} - 2x_{3} - 4x_{4}}{10},
x_{3}=\frac{43,5 - x_{1} - 2x_{2} - x_{4}}{10}, \quad x_{4}=\frac{45,6 - 2x_{1} - 4x_{2} - x_{3}}{20}.

Passo 3

Iteração k=1, usando \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0,0):
x_{1}^{(1)}=\frac{33-0-0-0}{20}=1,65,\quad x_{2}^{(1)}=\frac{38,4-1,65}{10}=3,68,
x_{3}^{(1)}=\frac{43,5-1,65-2\cdot3,68}{10}=3,45,\quad x_{4}^{(1)}=\frac{45,6-2\cdot1,65-4\cdot3,68-3,45}{20}=1,21.

Passo 4

Iteração k=2, usando \mathbf{x}^{(1)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{33-3,68-3,45-2\cdot1,21}{20}=1,17,\quad x_{2}^{(2)}=\frac{38,4-1,17-2\cdot3,45-4\cdot1,21}{10}=2,55,
x_{3}^{(2)}=\frac{43,5-1,17-2\cdot2,55-1,21}{10}=3,60,\quad x_{4}^{(2)}=\frac{45,6-2\cdot1,17-4\cdot2,55-3,60}{20}=1,47.

Passo 5

Iteração k=3, usando \mathbf{x}^{(2)}:
x_{1}^{(3)}=\frac{33-2,55-3,60-2\cdot1,47}{20}=1,20,\quad x_{2}^{(3)}=\frac{38,4-1,20-2\cdot3,60-4\cdot1,47}{10}=2,41,
x_{3}^{(3)}=\frac{43,5-1,20-2\cdot2,41-1,47}{10}=3,60,\quad x_{4}^{(3)}=\frac{45,6-2\cdot1,20-4\cdot2,41-3,60}{20}=1,50.
Variações em relação a k=2: |\Delta x_{1}|=0,03,\;|\Delta x_{2}|=0,14,\;|\Delta x_{3}|=0,00,\;|\Delta x_{4}|=0,03. Ainda temos variação acima de 0,01.

Passo 6

Iteração k=4, usando \mathbf{x}^{(3)}:
x_{1}^{(4)}=\frac{33-2,41-3,60-2\cdot1,50}{20}=1,20,\quad x_{2}^{(4)}=\frac{38,4-1,20-2\cdot3,60-4\cdot1,50}{10}=2,40,
x_{3}^{(4)}=\frac{43,5-1,20-2\cdot2,40-1,50}{10}=3,60,\quad x_{4}^{(4)}=\frac{45,6-2\cdot1,20-4\cdot2,40-3,60}{20}=1,50.
Agora |\Delta x_{i}|\le0,01 para todo i. Concluímos a iteração.

Resposta

\mathbf{x}\approx \begin{pmatrix} 1,20\\\\ 2,40\\\\ 3,60\\\\ 1,50 \end{pmatrix}

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