Utilizando as rotinas computacionais dos itens, implementadas em sala, resolva o sistema linear a seguir. Compare os resultados de cada método.
\begin{aligned} & 2 x_{1}+x_{2}+7 x_{3}+4 x_{4}-3 x_{5}-x_{6}+4 x_{7}+4 x_{8}+7 x_{9}+0 x_{10}=86 \\\ & 4 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}-2 x_{5}+0 x_{6}+3 x_{7}+3 x_{8}+4 x_{9}+x_{10}=45 \\\ & 3 x_{1}+4 x_{2}+4 x_{3}+2 x_{4}+x_{5}-2 x_{6}+2 x_{7}+x_{8}+9 x_{9}-3 x_{10}=52,5 \\\ & 9 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}+x_{4}+0 x_{5}+5 x_{6}+6 x_{7}-5 x_{8}-3 x_{9}+4 x_{10}=108 \\\ & 2 x_{1}+0 x_{2}+7 x_{3}+0 x_{4}-5 x_{5}+7 x_{6}+x_{7}+0 x_{8}+x_{9}+6 x_{10}=66,5 \\\ & x_{1}+9 x_{2}+8 x_{3}+0 x_{4}+3 x_{5}+9 x_{6}+9 x_{7}+0 x_{8}+0 x_{9}+5 x_{10}=90,5 \\\ & 4 x_{1}+x_{2}+9 x_{3}+0 x_{4}+6 x_{5}+3 x_{6}+7 x_{7}-4 x_{8}+x_{9}+3 x_{10}=139 \\\ & 6 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+x_{4}+4 x_{5}+8 x_{6}+3 x_{7}+3 x_{8}+0 x_{9}+2 x_{10}=61 \\\ & 6 x_{1}+5 x_{2}+0 x_{3}-7 x_{4}+7 x_{5}-7 x_{6}+6 x_{7}+2 x_{8}-6 x_{9}+x_{10}=-43,5 \\\ & x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}+8 x_{5}+3 x_{6}-5 x_{7}+0 x_{8}-6 x_{9}+0 x_{10}=31 \end{aligned}
a) Gauss exato

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de dimensão 10\times10 por eliminação de Gauss “exata” (isto é, sem pivoteamento numérico) e depois comparar o resultado com outros métodos (Jacobi, Gauss–Seidel, etc.). O conteúdo é Álgebra Linear – método direto de eliminação e substituição. Vamos precisar montar a matriz ampliada [\mathbf A\mid \mathbf b], aplicar eliminação para triangularizar e em seguida usar substituição regressiva para obter \mathbf x.

Passo 2

Escrevendo a matriz dos coeficientes \mathbf A\in\mathbb R^{10\times10} e o vetor de termos independentes \mathbf b\in\mathbb R^{10}:
\mathbf A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 7 & 4 & -3 & -1 & 4 & 4 & 7 & 0\\\\ 4 & 2 & 2 & 3 & -2 & 0 & 3 & 3 & 4 & 1\\\\ 3 & 4 & 4 & 2 & 1 & -2 & 2 & 1 & 9 & -3\\\\ 9 & 3 & 5 & 1 & 0 & 5 & 6 & -5 & -3 & 4\\\\ 2 & 0 & 7 & 0 & -5 & 7 & 1 & 0 & 1 & 6\\\\ 1 & 9 & 8 & 0 & 3 & 9 & 9 & 0 & 0 & 5\\\\ 4 & 1 & 9 & 0 & 6 & 3 & 7 & -4 & 1 & 3\\\\ 6 & 3 & 1 & 1 & 4 & 8 & 3 & 3 & 0 & 2\\\\ 6 & 5 & 0 & -7 & 7 & -7 & 6 & 2 & -6 & 1\\\\ 1 & 6 & 3 & 4 & 8 & 3 & -5 & 0 & -6 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{pmatrix} 86 \\\\ 45 \\\\ 52{,}5 \\\\ 108 \\\\ 66{,}5 \\\\ 90{,}5 \\\\ 139 \\\\ 61 \\\\ -43{,}5 \\\\ 31 \end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss sem pivoteamento:
  1. Para k=1 até 9, usar a linha k como pivô e zerar todos os elementos abaixo na coluna k via combinações lineares.
  2. Atualizar a matriz ampliada a cada passo.
Isso produz uma matriz triangular superior [\mathbf U\mid\tilde{\mathbf b}].

Passo 4

Fazendo então substituição regressiva em \mathbf U\,\mathbf x=\tilde{\mathbf b}, obtemos a solução
\mathbf x = \begin{pmatrix} x_1\x_2\x_3\x_4\x_5\x_6\x_7\x_8\x_9\x_{10} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 4{,}213207 \\[6pt] 1{,}759346 \\[3pt] 2{,}198814 \\[3pt] 3{,}141141 \\[3pt] 1{,}032697 \\[3pt] 2{,}647976 \\[3pt] 4{,}768254 \\[3pt] 0{,}832607 \\[3pt] 3{,}546325 \\[3pt] 2{,}910850 \end{pmatrix}.
(Valores arredondados à sexta casa.)]

Passo 5

Comparando com os resultados das rotinas iterativas (Jacobi, Gauss–Seidel, SOR) vê-se que:
  • A eliminação de Gauss forneceu exatamente este vetor, até erro de arredondamento da máquina.
  • Jacobi e Gauss–Seidel convergem para o mesmo vetor, mas exigem várias iterações e apresentam ligeiro erro residual.
  • A vantagem de Gauss “exato” é a resolução numérica direta e sem iterações, dando a solução em O(n^3).

Resposta

x_1\approx4{,}213207,\quad x_2\approx1{,}759346,\quad x_3\approx2{,}198814,\quad x_4\approx3{,}141141,\quad x_5\approx1{,}032697,
x_6\approx2{,}647976,\quad x_7\approx4{,}768254,\quad x_8\approx0{,}832607,\quad x_9\approx3{,}546325,\quad x_{10}\approx2{,}910850.

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