Utilizando a sequência
, fornecer uma outra demonstração para a infinitude dos primos
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é usar a sequência
para dar uma prova de que não dá pra ter só um número finito de primos. O conteúdo é teoria dos números (propriedades de fatoração, definição de número primo e divisibilidade) e a ferramenta central é o fatorial e prova por contradição. Vamos precisar saber:
- o que é
(fatorial), - o que significa “um número primo”,
- o que é “divisível por” e as regras básicas de resto de divisão.
Passo 2
Primeiro, a gente assume, por contradição, que existem só
primos no mundo. Chamemos esses primos de
Isso significa que “não há nenhum primo além desses”.
Passo 3
Agora escolhe
. Então, pega
Lembra que
Como cada
é
, temos
divide
. Logo, ao dividir
por
, o resto é zero:
Passo 4
Se dividirmos
por qualquer
, o resto será
Ou seja, nenhum
divide
.
Então duas opções:
-
é primo — aí já temos um primo fora da lista original. -
não é primo — mas aí ele se decompõe em fatores primos, e nenhum desses fatores pode ser . Logo aparece pelo menos um primo novo.
Passo 5
Em qualquer caso encontramos um primo que não estava na nossa lista inicial de
primos. Mas isso contradiz a suposição de que só existiam aqueles
. Portanto, nossa hipótese estava errada.
Resposta
Concluímos que não existe uma lista finita de primos, ou seja, há infinitos números primos.