Utilizando a sequência Rn=n!+1, n >= 1, fornecer uma outra demonstração para a infinitude dos primos

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é usar a sequência
Rn = n! + 1, n>=1
para dar uma prova de que não dá pra ter só um número finito de primos. O conteúdo é teoria dos números (propriedades de fatoração, definição de número primo e divisibilidade) e a ferramenta central é o fatorial e prova por contradição. Vamos precisar saber:
  • o que é (fatorial),
  • o que significa “um número primo”,
  • o que é “divisível por” e as regras básicas de resto de divisão.

Passo 2

Primeiro, a gente assume, por contradição, que existem só p1, p2, dots, pk primos no mundo. Chamemos esses primos de
Isso significa que “não há nenhum primo além desses”.

Passo 3

Agora escolhe Rn = n! + 1 . Então, pega
n! = 1cdot2cdot3cdots n
Lembra que
n! equiv 0 pmodpi
Como cada é , temos divide . Logo, ao dividir por , o resto é zero:

Passo 4

Se dividirmos Rn bmod pi = (n! + 1)bmod pi = (0 + 1)bmod pi = 1 por qualquer , o resto será
Ou seja, nenhum divide .
Então duas opções:
  1. é primo — aí já temos um primo fora da lista original.
  2. não é primo — mas aí ele se decompõe em fatores primos, e nenhum desses fatores pode ser . Logo aparece pelo menos um primo novo.

Passo 5

Em qualquer caso encontramos um primo que não estava na nossa lista inicial de primos. Mas isso contradiz a suposição de que só existiam aqueles . Portanto, nossa hipótese estava errada.

Resposta

Concluímos que não existe uma lista finita de primos, ou seja, há infinitos números primos.

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