Sejam F1=1, F2=1 e Fn=Fn-1+Fn-2, n >= 3 ( Fn é chamado de n-ésimo número de Fibonacci). Mostrar que
F1 F2+F2 F3+F3 F4+cdots+F2 n F2 n+1=F2 n+1^2-1

Passo 1

O enunciado pede pra provar que, na sequência de Fibonacci definida por
F1 = 1, F2 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2(n>=3),
vale a igualdade
F1F2 + F2F3 + cdots + F2nF2n+1 ;=; F2n+1^2 ;-; 1
Estamos trabalhando com somas de produtos de termos de Fibonacci e vamos usar indução matemática e a própria relação de recorrência .

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a afirmação vale para F1F2 + F2F3 = 1cdot1 + 1cdot2 = 1 + 2 = 3 (caso base).
Para F2cdot1+1^2 - 1 = F3^2 - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 a soma tem só dois termos:
F1F2 + F2F3 = F3^2 - 1,
Do outro lado,
Então, de fato,
e o caso base está confirmado.

Passo 3

Agora assumimos que a fórmula vale para um certo sumk=1^2n Fk Fk+1 ;=; F2n+1^2 - 1 , ou seja,
sumk=1^2(n+1) Fk Fk+1 = l(sumk=1^2n Fk Fk+1r) ;+; F2n+1F2n+2 ;+; F2n+2F2n+3
Vamos provar que daí decorre que ela vale para sumk=1^2(n+1) Fk Fk+1 = l(F2n+1^2 - 1r) + F2n+1F2n+2 + F2n+2F2n+3 .
A soma até F2n+1F2n+2 + F2n+2F2n+3 = F2n+1F2n+2 + F2n+2l(F2n+2+F2n+1r) = F2n+2^2 + 2,F2n+1F2n+2 pode ser vista como
F2n+2^2 + 2,F2n+1F2n+2 = l(F2n+1 + F2n+2r)^2 - F2n+1^2 = F2n+3^2 - F2n+1^2
Pela hipótese de indução, a parte até sumk=1^2(n+1) Fk Fk+1 = l(F2n+1^2 - 1r) + l(F2n+3^2 - F2n+1^2r) = F2n+3^2 - 1, é . Logo
Agora usamos a relação para juntar os dois últimos termos:
Repare que
Então
que é exatamente a fórmula para . Assim finalizamos o passo de indução.

Resposta

Portanto, por indução, mostramos que para todo boxed F1F2 + F2F3 + cdots + F2nF2n+1 ;=; F2n+1^2 ;-; 1 vale

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