Utilizando as substituições indicadas, calcular as seguintes integrais.
integral0^1 d x1+raizx, x=t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral0^1 dx1+raizx. O que a gente vai fazer aqui é usar uma substituição para facilitar a conta. A matéria que estamos trabalhando é cálculo integral, e vamos precisar entender um pouco sobre substituição em integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição que foi sugerida: x = t^2. Quando a gente substitui, precisa também mudar a variável de integração e os limites. Então, se x = t^2, derivando ambos os lados em relação a t, temos:
dx = 2t , dt
Agora, vamos ver como os limites mudam:
  • Quando x = 0, t = raiz0 = 0
  • Quando x = 1, t = raiz1 = 1

Passo 3

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral0^1 dx1+raizx = integral0^1 2t , dt1 + t
Simplificando a fração:
2t1 + t = 2 - 21 + t
Então, a integral fica:
integral0^1 (2 - 21 + t) dt

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^1 2 , dt = 2t |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2
E
integral0^1 21 + t , dt = 2 ln|1 + t| |0^1 = 2ln(2) - 2ln(1) = 2ln(2)

Resposta

Juntando tudo, temos:
2 - 2ln(2)
Então, o valor da integral é 2 - 2ln(2).

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