Utilizando a técnica de substituição, calcule as integrais a seguir.
integral1^2 e^1 / xx^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral1^2 e^1 / xx^2, dx. Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, simplificando o cálculo.

Passo 2

A técnica de substituição consiste em escolher uma função dentro da integral que, ao ser substituída por uma nova variável, transformará a integral em uma forma mais simples para ser resolvida. Nesse caso, observando a integral e^1 / xx^2, notamos que a função no expoente, 1/x, pode ser uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u como u = 1/x. Então, precisamos expressar du em termos de dx para substituir na integral.
Calculando a derivada de u em relação a x:
dudx = -1x^2
Portanto, du = -1x^2, dx, o que implica que -du = 1x^2, dx.

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
integral1^2 e^1 / xx^2, dx = integralx=1^x=2 e^u cdot (-du)
Isso simplifica para:
- integralu=1^u=0.5 e^u, du
Note que ao trocar a variável, também devemos ajustar os limites de integração. Quando x = 1, u = 1/1 = 1. Quando x = 2, u = 1/2 = 0.5.

Passo 5

Integrando e^u em relação a u:
integral e^u, du = e^u + C
Aplicando os limites de integração:
- [ e^0.5 - e^1 ] = e^1 - e^0.5

Resposta

A integral definida é igual a e^1 - e^0.5.

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