Utilizando a técnica de substituição, calcule as integrais a seguir.
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
. Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, simplificando o cálculo.
Passo 2
A técnica de substituição consiste em escolher uma função dentro da integral que, ao ser substituída por uma nova variável, transformará a integral em uma forma mais simples para ser resolvida. Nesse caso, observando a integral
, notamos que a função no expoente,
, pode ser uma boa candidata para substituição.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
como
. Então, precisamos expressar
em termos de
para substituir na integral.
Calculando a derivada de
em relação a
:
Portanto,
, o que implica que
.
Passo 4
Agora, substituímos na integral original:
Isso simplifica para:
Note que ao trocar a variável, também devemos ajustar os limites de integração. Quando
,
. Quando
,
.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A integral definida é igual a
.