Utilizando a Técnica de Integração por Partes, determine as primitivas
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando a Técnica de Integração por Partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções e queremos encontrar a primitiva dessa combinação. Para isso, precisamos identificar duas partes na nossa integral: uma que simplifica quando derivamos (vamos chamar de
) e outra que conseguimos integrar facilmente (vamos chamar de
).
Passo 2
Primeiro, vamos escolher quais partes serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que se simplifica ao derivar e
como a função que podemos integrar facilmente. Aqui, vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
e integrar
para encontrar
:
Para encontrar
Para integrar
, usamos a substituição
, então
e
. A integral fica:
Como estamos procurando apenas uma primitiva, podemos ignorar a constante
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral
. Novamente, usamos a substituição
, então
e
:
Novamente, ignoramos a constante
Passo 6
Substituindo essa integral de volta na expressão anterior:
Simplificando:
Resposta
A primitiva da função é:
onde