Utilizando a Técnica de Integração por Partes, determine as primitivas
(e) integral theta cos (pi theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral theta cos (pi theta) d theta usando a Técnica de Integração por Partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções e queremos encontrar a primitiva dessa combinação. Para isso, precisamos identificar duas partes na nossa integral: uma que simplifica quando derivamos (vamos chamar de u) e outra que conseguimos integrar facilmente (vamos chamar de dv).

Passo 2

Primeiro, vamos escolher quais partes serão u e dv. Geralmente, escolhemos u como a função que se simplifica ao derivar e dv como a função que podemos integrar facilmente. Aqui, vamos definir:
u = theta
dv = cos (pi theta) dtheta

Passo 3

Agora, vamos derivar u para encontrar du e integrar dv para encontrar v:
du = dtheta
Para encontrar v, integramos dv:
v = integral cos (pi theta) dtheta
Para integrar cos (pi theta), usamos a substituição w = pi theta, então dw = pi dtheta e dtheta = dwpi. A integral fica:
v = 1pi integral cos(w) dw = 1pi sin(w) + C = 1pi sin(pi theta) + C
Como estamos procurando apenas uma primitiva, podemos ignorar a constante C.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral theta cos (pi theta) d theta = theta cdot 1pi sin(pi theta) - integral 1pi sin(pi theta) dtheta
Simplificando:
= thetapi sin(pi theta) - 1pi integral sin(pi theta) dtheta

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral integral sin(pi theta) dtheta. Novamente, usamos a substituição w = pi theta, então dw = pi dtheta e dtheta = dwpi:
integral sin(pi theta) dtheta = 1pi integral sin(w) dw = -1pi cos(w) + C = -1pi cos(pi theta) + C
Novamente, ignoramos a constante C.

Passo 6

Substituindo essa integral de volta na expressão anterior:
thetapi sin(pi theta) - 1pi ( -1pi cos(pi theta) )
Simplificando:
= thetapi sin(pi theta) + 1pi^2 cos(pi theta)

Resposta

A primitiva da função é:
integral theta cos (pi theta) d theta = thetapi sin(pi theta) + 1pi^2 cos(pi theta) + C
onde C é a constante de integração.

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