Utilizando a Técnica de Integração por Partes, determine as primitivas
§ integral e^2 y cos (3 y) d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma primitiva para a integral integral e^2 y cos (3 y) , dy usando a Técnica de Integração por Partes. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar identificar quais funções representarão u e dv na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Integração por Partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Para aplicar essa técnica na nossa integral integral e^2 y cos (3 y) , dy, precisamos escolher quais partes da expressão serão u e dv. Geralmente, escolhemos u como a função que, ao derivar, simplifica a integral, e dv como o restante.

Passo 3

Vamos definir:
u = e^2 y e dv = cos(3 y) , dy
Agora, precisamos encontrar du e v:
Derivando u:
du = ddy e^2 y , dy = 2 e^2 y , dy
Integrando dv para encontrar v:
v = integral cos(3 y) , dy = 13 sin(3 y)

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral e^2 y cos(3 y) , dy = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= e^2 y cdot (13 sin(3 y)) - integral (13 sin(3 y)) cdot 2 e^2 y , dy
Simplificando:
= 13 e^2 y sin(3 y) - 23 integral e^2 y sin(3 y) , dy

Passo 5

Agora, temos uma nova integral para resolver: integral e^2 y sin(3 y) , dy. Vamos aplicar novamente a técnica de integração por partes para essa integral. Novamente, escolhemos:
u = e^2 y e dv = sin(3 y) , dy
Calculando du e v:
du = 2 e^2 y , dy
v = -13 cos(3 y)

Passo 6

Aplicando a integração por partes à nova integral:
integral e^2 y sin(3 y) , dy = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
= e^2 y cdot (-13 cos(3 y)) - integral (-13 cos(3 y)) cdot 2 e^2 y , dy
Simplificando:
= -13 e^2 y cos(3 y) + 23 integral e^2 y cos(3 y) , dy

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
integral e^2 y cos(3 y) , dy = 13 e^2 y sin(3 y) - 23 ( -13 e^2 y cos(3 y) + 23 integral e^2 y cos(3 y) , dy )
Vamos simplificar:
= 13 e^2 y sin(3 y) + 29 e^2 y cos(3 y) - 49 integral e^2 y cos(3 y) , dy

Passo 8

Agora, temos a mesma integral no lado esquerdo e no lado direito da equação. Vamos chamar essa integral de I:
I = 13 e^2 y sin(3 y) + 29 e^2 y cos(3 y) - 49 I
Vamos somar 49 I dos dois lados para isolar I:
I + 49 I = 13 e^2 y sin(3 y) + 29 e^2 y cos(3 y)
139 I = 13 e^2 y sin(3 y) + 29 e^2 y cos(3 y)
Multiplicando ambos os lados por 913:
I = 913 ( 13 e^2 y sin(3 y) + 29 e^2 y cos(3 y) )
I = 313 e^2 y sin(3 y) + 213 e^2 y cos(3 y)

Resposta

Portanto, uma primitiva para integral e^2 y cos (3 y) , dy é:
integral e^2 y cos (3 y) , dy = e^2 y ( 313 sin(3 y) + 213 cos(3 y) ) + C
Onde C é a constante de integração.

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