Utilizando a Técnica de Integração por Partes, determine as primitivas
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma primitiva para a integral
usando a Técnica de Integração por Partes. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar identificar quais funções representarão
e
na fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Integração por Partes:
Para aplicar essa técnica na nossa integral
, precisamos escolher quais partes da expressão serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que, ao derivar, simplifica a integral, e
como o restante.
Passo 3
Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar
e
:
Derivando
:
Integrando
para encontrar
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma nova integral para resolver:
. Vamos aplicar novamente a técnica de integração por partes para essa integral. Novamente, escolhemos:
Calculando
e
:
Passo 6
Aplicando a integração por partes à nova integral:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à nossa expressão anterior:
Vamos simplificar:
Passo 8
Agora, temos a mesma integral no lado esquerdo e no lado direito da equação. Vamos chamar essa integral de
:
Vamos somar
dos dois lados para isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, uma primitiva para
é:
Onde
é a constante de integração.