Utilizando-se das técnicas envolvendo cotangentes e cossecantes, que são análogas as do caso envolvendo secantes e tangentes, calcule
\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \operatorname{cotan}^{3} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\cot^3\theta\,d\theta. O conteúdo é integração de funções trigonométricas usando identidades que envolvem cotangente e cosecante. Vamos usar a identidade
\cot^2\theta = \csc^2\theta - 1
para reescrever o integrando de forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Reescrevendo a potência maior em função de \csc\theta:
\cot^3\theta = \cot^2\theta\;\cot\theta = (\csc^2\theta - 1)\,\cot\theta.
Então a integral vira
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cot^3\theta\,d\theta = \int_{\pi/4}^{\pi/2}\bigl(\csc^2\theta\,\cot\theta - \cot\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 3

Agora separamos em duas integrais:
\int\csc^2\theta\,\cot\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \int\cot\theta\,d\theta.
  1. Para \int\csc^2\theta\,\cot\theta\,d\theta, fazemos u=\csc\theta, logo du=-\csc\theta\cot\theta\,d\theta. Note que \csc^2\theta\,\cot\theta\,d\theta = \csc\theta\,(\csc\theta\cot\theta\,d\theta) = -\csc\theta\,du. Assim
\int\csc^2\theta\,\cot\theta\,d\theta = \int -u\,du = -\tfrac12\,u^2 = -\tfrac12\,\csc^2\theta.
  1. Para \int\cot\theta\,d\theta, lembramos que \cot\theta = \cos\theta/\sin\theta e \dfrac{d}{d\theta}(\ln\sin\theta)=\cot\theta. Logo
\int\cot\theta\,d\theta = \ln\bigl|\sin\theta\bigr|.
Juntando, uma primitiva geral é
F(\theta) = -\tfrac12\,\csc^2\theta - \ln\bigl|\sin\theta\bigr| + C.

Passo 4

Agora aplicamos os limites de \pi/4 a \pi/2:
F(\pi/2) = -\tfrac12\csc^2(\tfrac\pi2) - \ln\sin(\tfrac\pi2) = -\tfrac12\cdot1 - \ln(1) = -\tfrac12,
F(\pi/4) = -\tfrac12\csc^2(\tfrac\pi4) - \ln\sin(\tfrac\pi4) = -\tfrac12\cdot2 - \ln\Bigl(\tfrac{\sqrt2}2\Bigr) = -1 - \Bigl(\tfrac12\ln2 - \ln2\Bigr) = -1 + \tfrac12\ln2.
Portanto
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cot^3\theta\,d\theta = F(\pi/2) - F(\pi/4) = \bigl(-\tfrac12\bigr) - \bigl(-1 + \tfrac12\ln2\bigr) = \tfrac12 - \tfrac12\ln2.

Resposta

\frac{1 - \ln 2}{2}

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