Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os limites abaixo:
lim x -infty 5 x^2-sen(3 x)x^2+10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze). O exercício pede para calcular:
lim x -infty 5x^2 - sin(3x)x^2+10
Aqui, estamos lidando com limites no infinito e funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como o seno se comporta e como comparar funções usando o Teorema do Confronto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função seno. Sabemos que para qualquer valor de -1 <= sin(y) <= 1 :
Isso significa que sempre estará entre -1 e 1, independentemente do valor de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa expressão original. Substituindo -1 <= sin(3x) <= 1 por seus limites:
-1 <= sin(3x) <= 1
Multiplicando toda a desigualdade por 1 (não altera a desigualdade):

Passo 4

Vamos ajustar a desigualdade para a expressão que temos no numerador:
5x^2 - 1 <= 5x^2 - sin(3x) <= 5x^2 + 1
Dividindo tudo pelo denominador 5x^2 - 1x^2 + 10 <= 5x^2 - sin(3x)x^2 + 10 <= 5x^2 + 1x^2 + 10 :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de cada parte da desigualdade quando 5 - 1x^21 + 10x^2 tende a 5 - 01 + 0 = 5 .
Primeiro, para :
Dividimos numerador e denominador por :
Quando tende a , e tendem a 0. Então, o limite é:

Passo 6

Fazendo o mesmo para 5 + 1x^21 + 10x^2 :
Dividimos numerador e denominador por 5 + 01 + 0 = 5 :
Novamente, quando tende a , e tendem a 0. Então, o limite é:

Passo 7

Agora, pelo Teorema do Confronto, já que:
5x^2 - 1x^2 + 10 <= 5x^2 - sin(3x)x^2 + 10 <= 5x^2 + 1x^2 + 10
E ambos os limites das extremidades são iguais a 5, concluímos que:
lim x -infty 5x^2 - sin(3x)x^2+10 = 5

Resposta

O limite é igual a 5.

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