Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze). O exercício pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com limites no infinito e funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como o seno se comporta e como comparar funções usando o Teorema do Confronto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função seno. Sabemos que para qualquer valor de
:
Isso significa que
sempre estará entre -1 e 1, independentemente do valor de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa expressão original. Substituindo
por seus limites:
Multiplicando toda a desigualdade por 1 (não altera a desigualdade):
Passo 4
Vamos ajustar a desigualdade para a expressão que temos no numerador:
Dividindo tudo pelo denominador
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de cada parte da desigualdade quando
tende a
.
Primeiro, para
:
Dividimos numerador e denominador por
:
Quando
tende a
,
e
tendem a 0. Então, o limite é:
Passo 6
Fazendo o mesmo para
:
Dividimos numerador e denominador por
:
Novamente, quando
tende a
,
e
tendem a 0. Então, o limite é:
Passo 7
Agora, pelo Teorema do Confronto, já que:
E ambos os limites das extremidades são iguais a 5, concluímos que:
Resposta
O limite é igual a 5.