Utilizando Transformadas de Laplace, determine a solução
das equações diferenciais a seguir, sendo
o operador derivada.
Passo 1
O enunciado pede a solução
da equação diferencial com condição inicial:
Informações dadas:
- A equação diferencial é de primeira ordem, linear, não homogênea.
- O termo forçante (lado direito) é a soma de duas exponenciais:
e . - Condição inicial:
.
O objetivo final é obter explicitamentepara .
Passo 2
Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a EDO em uma equação algébrica. Primeiro algumas definições e propriedades importantes (explicadas com calma):
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
(comportada), a transformada é
Aqui
é a variável complexa da transformada; na prática, tratamos
como variável algébrica.
- Propriedade da transformada da derivada (essencial para EDOs): se
e é conhecido, então
Isso nos permite transformar
em termos algébricos em
.
- Transformada de exponenciais simples:
Então
e
.
Defina
. A estratégia: aplicar
à equação, resolver algebricamente para
e depois inverter a transformada.
Passo 3
Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Usando linearidade e a propriedade da derivada, e lembrando que
, temos:
Substituindo
e
, obtemos
Usando as transformadas das exponenciais:
Passo 4
Coloque
em evidência e resolva algebricamente:
Logo
É conveniente escrever
como soma de frações parciais simples, porque a inversa da transformada de Laplace é direta para termos do tipo
.
Passo 5
Vamos decompor cada fração em frações parciais.
Primeiro termo:
procuramos e
tais que
procuramos
Multiplicando ambos os lados por
:
Escolhendo valores práticos: para
vem
. Para
vem
.
Portanto
Portanto
Segundo termo:
procuramos e
tais que
procuramos
Multiplicando por
:
Para
:
. Para
:
.
Então
Então
Passo 6
Agora escrevemos
somando as decomposições:
Agrupando termos semelhantes (os de
):
Calcule o coeficiente de
:
Portanto
Passo 7
Inverta a transformada de Laplace termo a termo, lembrando que
:
Somando os termos, obtemos a solução no tempo:
Passo 8
Verificação rápida da condição inicial para dar confiança:
, que coincide com
. Tudo consistente!