Utilizando Transformadas de Laplace, determine a solução y(t) das equações diferenciais a seguir, sendo p o operador derivada.
\dot{y}(t)+2 y(t)=-e^{-t}+2 e^{3 t}, \quad y(0)=0 .

Passo 1

O enunciado pede a solução y(t) da equação diferencial com condição inicial:
\dot{y}(t)+2\,y(t)=-e^{-t}+2e^{3t},\qquad y(0)=0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é de primeira ordem, linear, não homogênea.
  • O termo forçante (lado direito) é a soma de duas exponenciais: -e^{-t} e 2e^{3t}.
  • Condição inicial: y(0)=0.
    O objetivo final é obter explicitamente y(t) para t\ge0.

Passo 2

Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a EDO em uma equação algébrica. Primeiro algumas definições e propriedades importantes (explicadas com calma):
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (comportada), a transformada F(s) é
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Aqui s é a variável complexa da transformada; na prática, tratamos s como variável algébrica.
  • Propriedade da transformada da derivada (essencial para EDOs): se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e y(0) é conhecido, então
\mathcal{L}\{\dot{y}(t)\}=s\,Y(s)-y(0).
Isso nos permite transformar \dot{y} em termos algébricos em s.
  • Transformada de exponenciais simples:
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\quad(\Re(s)> \Re(a)).
Então \mathcal{L}\{e^{-t}\}=\dfrac{1}{s+1} e \mathcal{L}\{e^{3t}\}=\dfrac{1}{s-3}.
Defina Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. A estratégia: aplicar \mathcal{L}\{\cdot\} à equação, resolver algebricamente para Y(s) e depois inverter a transformada.

Passo 3

Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Usando linearidade e a propriedade da derivada, e lembrando que y(0)=0, temos:
\mathcal{L}\{\dot{y}(t)\} + 2\mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{-e^{-t}+2e^{3t}\}.
Substituindo \mathcal{L}\{\dot{y}(t)\}=sY(s)-y(0)=sY(s) e \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), obtemos
sY(s)+2Y(s)= -\mathcal{L}\{e^{-t}\}+2\mathcal{L}\{e^{3t}\}.
Usando as transformadas das exponenciais:
sY(s)+2Y(s)= -\frac{1}{s+1} + \frac{2}{s-3}.

Passo 4

Coloque Y(s) em evidência e resolva algebricamente:
Y(s)(s+2)= -\frac{1}{s+1} + \frac{2}{s-3}.
Logo
Y(s)= -\frac{1}{(s+1)(s+2)} + \frac{2}{(s-3)(s+2)}.
É conveniente escrever Y(s) como soma de frações parciais simples, porque a inversa da transformada de Laplace é direta para termos do tipo \dfrac{1}{s-a}.

Passo 5

Vamos decompor cada fração em frações parciais.
Primeiro termo:
procuramos A e B tais que
-\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2):
-1 = A(s+2)+B(s+1).
Escolhendo valores práticos: para s=-1 vem -1 = A(1)\Rightarrow A=-1. Para s=-2 vem -1 = B(-1)\Rightarrow B=1.
Portanto
-\frac{1}{(s+1)(s+2)} = -\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s+2}.
Segundo termo:
procuramos C e D tais que
\frac{2}{(s-3)(s+2)}=\frac{C}{s-3}+\frac{D}{s+2}.
Multiplicando por (s-3)(s+2):
2 = C(s+2)+D(s-3).
Para s=3: 2 = C(5)\Rightarrow C=\dfrac{2}{5}. Para s=-2: 2 = D(-5)\Rightarrow D=-\dfrac{2}{5}.
Então
\frac{2}{(s-3)(s+2)} = \frac{2/5}{s-3} - \frac{2/5}{s+2}.

Passo 6

Agora escrevemos Y(s) somando as decomposições:
Y(s)=\left(-\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s+2}\right) + \left(\frac{2/5}{s-3}-\frac{2/5}{s+2}\right).
Agrupando termos semelhantes (os de 1/(s+2)):
Y(s) = -\frac{1}{s+1} + \left(\frac{1}{s+2}-\frac{2/5}{s+2}\right) + \frac{2/5}{s-3}.
Calcule o coeficiente de 1/(s+2):
\frac{1}{s+2}-\frac{2/5}{s+2} = \frac{1-2/5}{s+2} = \frac{3/5}{s+2}.
Portanto
Y(s) = -\frac{1}{s+1} + \frac{3/5}{s+2} + \frac{2/5}{s-3}.

Passo 7

Inverta a transformada de Laplace termo a termo, lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{at}:
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{-\dfrac{1}{s+1}\right\} = -e^{-t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{3/5}{s+2}\right\} = \dfrac{3}{5} e^{-2t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2/5}{s-3}\right\} = \dfrac{2}{5} e^{3t}.
Somando os termos, obtemos a solução no tempo:
y(t) = -e^{-t} + \frac{3}{5}e^{-2t} + \frac{2}{5}e^{3t}.

Passo 8

Verificação rápida da condição inicial para dar confiança: y(0) = -1 + \dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5} = -1 +1 =0, que coincide com y(0)=0. Tudo consistente!

Resposta

y(t) = -e^{-t} + \frac{3}{5}e^{-2t} + \frac{2}{5}e^{3t}.

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