Utilizando Transformadas de Laplace, determine a solução
das equações diferenciais a seguir, sendo
o operador derivada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem com condição inicial:
O que se pede: determinar a solução
para
.
Passo 2
Vamos usar a transformada de Laplace. Primeiro algumas definições e propriedades que vamos usar (explicadas com calma):
- A transformada de Laplace de uma função
é
- A transformada é linear:
. - Transformada da derivada: se
e é finito, então
Vou usar também as transformadas conhecidas:
Essas fórmulas são padrão e derivam da integral da definição; aqui só as aplicamos.
Passo 3
Aplique a transformada de Laplace membro a membro na equação
. Usando linearidade e a fórmula da derivada:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Fatore
no lado esquerdo:
Logo
Agora precisamos inverter esta transformada; para isso fazemos frações parciais ou decomposição que permita usar transformadas conhecidas.
Passo 5
Fazemos a decomposição em frações parciais do racional
Multiplicando por
obtemos a identidade polinomial
Expandindo:
Agrupando coeficientes por potências de
:
Esses devem ser iguais aos coeficientes do polinômio do lado direito, que é
. Logo formamos o sistema:
Passo 6
Resolva o sistema para
. De
segue
.
Substitua em :
Substitua em
Use
:
Então
Passo 7
Substituindo os coeficientes na decomposição,
Separe os termos:
Passo 8
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo usando as fórmulas conhecidas:
-
. -
. -
porque .
Portanto
Simplificando o último termo:
Passo 9
Pequena verificação (conforto): em
temos
ou seja, a condição inicial é satisfeita. Também faz sentido físico: o termo exponencial é a solução homogênea que decai; os termos de seno e cosseno formam a solução particular forçada.