Utilizando Transformadas de Laplace, determine a solução y(t) das equações diferenciais a seguir, sendo p o operador derivada.
\dot{y}(t)+3 y(t)=\cos (2 t), \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem com condição inicial:
\dot{y}(t)+3y(t)=\cos(2t),\qquad y(0)=0.
O que se pede: determinar a solução y(t) para t\ge0.

Passo 2

Vamos usar a transformada de Laplace. Primeiro algumas definições e propriedades que vamos usar (explicadas com calma):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
  • A transformada é linear: \mathcal{L}\{a f + b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformada da derivada: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e y(0) é finito, então
\mathcal{L}\{\dot{y}(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
Vou usar também as transformadas conhecidas:
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Essas fórmulas são padrão e derivam da integral da definição; aqui só as aplicamos.

Passo 3

Aplique a transformada de Laplace membro a membro na equação \dot{y}+3y=\cos(2t). Usando linearidade e a fórmula da derivada:
\mathcal{L}\{\dot{y}\}(s)+3\mathcal{L}\{y\}(s)=\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s).
Substituindo \mathcal{L}\{\dot{y}\}=sY(s)-y(0) e y(0)=0, obtemos
sY(s)+3Y(s)=\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 4

Fatore Y(s) no lado esquerdo:
(s+3)Y(s)=\frac{s}{s^{2}+4}.
Logo
Y(s)=\frac{s}{(s+3)(s^{2}+4)}.
Agora precisamos inverter esta transformada; para isso fazemos frações parciais ou decomposição que permita usar transformadas conhecidas.

Passo 5

Fazemos a decomposição em frações parciais do racional
\frac{s}{(s+3)(s^{2}+4)}=\frac{A}{s+3}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4}.
Multiplicando por (s+3)(s^{2}+4) obtemos a identidade polinomial
s=A(s^{2}+4)+(Bs+C)(s+3).
Expandindo:
s = A s^{2}+4A + B s^{2}+3B s + C s + 3C.
Agrupando coeficientes por potências de s:
s^{2}:\; A+B,\qquad s:\; 3B+C,\qquad \text{constante}:\; 4A+3C.
Esses devem ser iguais aos coeficientes do polinômio do lado direito, que é 0\cdot s^{2}+1\cdot s+0. Logo formamos o sistema:
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 3B+C=1,\\[4pt] 4A+3C=0. \end{cases}]

Passo 6

Resolva o sistema para A,B,C. De A+B=0 segue A=-B.
Substitua em 4A+3C=0:
4(-B)+3C=0\implies -4B+3C=0\implies 3C=4B\implies C=\frac{4}{3}B.
Use 3B+C=1:
3B+\frac{4}{3}B=1 \implies \left(3+\frac{4}{3}\right)B=1 \implies \frac{13}{3}B=1 \implies B=\frac{3}{13}.
Então
A=-B=-\frac{3}{13},\qquad C=\frac{4}{3}B=\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{13}=\frac{4}{13}.

Passo 7

Substituindo os coeficientes na decomposição,
Y(s)=\frac{A}{s+3}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4} =\frac{-\tfrac{3}{13}}{s+3}+\frac{\tfrac{3}{13}s+\tfrac{4}{13}}{s^{2}+4}.
Separe os termos:
Y(s)=-\frac{3}{13}\cdot\frac{1}{s+3}+\frac{3}{13}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}+\frac{4}{13}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.

Passo 8

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo usando as fórmulas conhecidas:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+3}\}=e^{-3t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^{2}+4}\}=\cos(2t).
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}+4}\}=\tfrac{1}{2}\sin(2t) porque \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\tfrac{2}{s^{2}+4}.
Portanto
y(t)=-\frac{3}{13}e^{-3t}+\frac{3}{13}\cos(2t)+\frac{4}{13}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t).
Simplificando o último termo:
y(t)=-\frac{3}{13}e^{-3t}+\frac{3}{13}\cos(2t)+\frac{2}{13}\sin(2t).

Passo 9

Pequena verificação (conforto): em t=0 temos
y(0)=-\frac{3}{13}+\frac{3}{13}+0=0,
ou seja, a condição inicial é satisfeita. Também faz sentido físico: o termo exponencial é a solução homogênea que decai; os termos de seno e cosseno formam a solução particular forçada.

Resposta

y(t)=-\frac{3}{13}e^{-3t}+\frac{3}{13}\cos(2t)+\frac{2}{13}\sin(2t)

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