Utilizando Transformadas de Laplace, determine a solução y(t) das equações diferenciais a seguir, sendo p o operador derivada.
\ddot{y}(t)+3 \dot{y}(t)+2 y(t)=-2 e^{-t}+1, \quad y(0)=1, \quad \dot{y}(0)=0 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais e pede a solução y(t):
\ddot{y}(t)+3\dot{y}(t)+2y(t)=-2e^{-t}+1, \quad y(0)=1,\quad \dot{y}(0)=0.
Informações relevantes que temos:
  • A equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • A fonte (termo à direita) é -2e^{-t}+1.
  • Condições iniciais: y(0)=1 e \dot{y}(0)=0.
    O objetivo é encontrar explicitamente y(t) para t\ge 0.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace. Definimos Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Vou usar as fórmulas padrão para transformadas de derivadas (essas fórmulas são ferramentas que você sempre pode aplicar em prova):
\mathcal{L}\{\dot{y}(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{\ddot{y}(t)\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-\dot{y}(0).
Aqui s é a variável complexa da transformada e Y(s) é a imagem de y(t). As fórmulas expressam que a transformada converte derivadas em polinômios em s multiplicando Y(s) e introduz termos que dependem das condições iniciais.

Passo 3

Aplicando \mathcal{L} em ambos os lados da equação e substituindo as fórmulas acima e as condições iniciais y(0)=1,\\ \dot{y}(0)=0, obtemos:
\mathcal{L}\{\ddot{y}\}+3\mathcal{L}\{\dot{y}\}+2\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{-2e^{-t}+1\}.
Substituindo as expressões:
\big(s^2Y(s)-s\big)+3\big(sY(s)-1\big)+2Y(s) = -2\cdot\frac{1}{s+1} + \frac{1}{s}.
Agora simplificamos o lado esquerdo:
(s^2+3s+2)Y(s) - (s+3) = -\frac{2}{s+1} + \frac{1}{s}.
Portanto
(s^2+3s+2)Y(s)= (s+3) -\frac{2}{s+1} + \frac{1}{s}.

Passo 4

Fatoramos o polinômio do lado esquerdo: s^2+3s+2=(s+1)(s+2). Assim
Y(s)=\frac{(s+3) -\dfrac{2}{s+1} + \dfrac{1}{s}}{(s+1)(s+2)}.
Para inverter a transformada é mais prático juntar tudo em uma única fração. Colocando os termos do numerador sobre um denominador comum s(s+1) temos (mostro o cálculo do numerador):
\text{numerador} = (s+3)\cdot s(s+1) + (s+1) - 2s.
Expandindo:
(s+3)s(s+1) = s^3+4s^2+3s,
então somando (s+1)-2s obtemos
\text{numerador} = s^3+4s^2+2s+1.
Logo
Y(s)=\frac{s^3+4s^2+2s+1}{s\,(s+1)^2\,(s+2)}.

Passo 5

Fazemos decomposição em frações simples. Procuramos constantes A,B,C,D tais que
\frac{s^3+4s^2+2s+1}{s\,(s+1)^2\,(s+2)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^2}+\frac{D}{s+2}.
Multiplicando pelos denominadores comuns obtemos a identidade
s^3+4s^2+2s+1 = A(s+1)^2(s+2) + B s(s+1)(s+2) + C s(s+2) + D s(s+1)^2.
Usamos valores convenientes de s para achar algumas constantes rapidamente.
  • Para s=0:
1 = A\cdot 1^2\cdot 2 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.
  • Para s=-2:
5 = -2D \quad\Rightarrow\quad D=-\tfrac{5}{2},
pois ao substituir s=-2 só o termo com D sobreviveu (os outros têm fator zero).
  • Para s=-1:
2 = -C \quad\Rightarrow\quad C=-2,
pois substituindo s=-1 só o termo com C contribui.
Agora usamos a equação dos coeficientes do s^3 (ou outra equação linear) para obter B. Coeficiente de s^3 da identidade dá:
A + B + D = 1.
Substituindo A=\tfrac{1}{2} e D=-\tfrac{5}{2} obtemos
\tfrac{1}{2} + B -\tfrac{5}{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad B=3.
Portanto os coeficientes são
A=\tfrac{1}{2},\quad B=3,\quad C=-2,\quad D=-\tfrac{5}{2}.
Assim a decomposição é
Y(s)=\frac{1/2}{s}+\frac{3}{s+1}-\frac{2}{(s+1)^2}-\frac{5/2}{s+2}.

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. As transformadas inversas básicas que usamos são:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-at},\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)^2}\right\}=t e^{-at}.
Aplicando a cada termo de Y(s):
y(t)=\tfrac{1}{2}\cdot 1 + 3 e^{-t} -2\cdot t e^{-t} -\tfrac{5}{2} e^{-2t}.
Ou seja,
y(t)=\tfrac{1}{2} + 3e^{-t} -2t e^{-t} -\tfrac{5}{2} e^{-2t}.

Passo 7

Breve verificação das condições iniciais (para ganhar confiança): em t=0,
y(0)=\tfrac{1}{2}+3-0-\tfrac{5}{2}=1,
e derivando y(t) e avaliando em t=0 obtemos \dot{y}(0)=0. Então as condições iniciais batem, indicando que a solução está consistente.

Resposta

y(t)=\dfrac{1}{2}+3e^{-t}-2t e^{-t}-\dfrac{5}{2}e^{-2t}

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