Utilizando Transformadas de Laplace, determine a solução
das equações diferenciais a seguir, sendo
o operador derivada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais e pede a solução
:
Informações relevantes que temos:
- A equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- A fonte (termo à direita) é
. - Condições iniciais:
e .
O objetivo é encontrar explicitamentepara .
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace. Definimos
. Vou usar as fórmulas padrão para transformadas de derivadas (essas fórmulas são ferramentas que você sempre pode aplicar em prova):
Aqui
é a variável complexa da transformada e
é a imagem de
. As fórmulas expressam que a transformada converte derivadas em polinômios em
multiplicando
e introduz termos que dependem das condições iniciais.
Passo 3
Aplicando
em ambos os lados da equação e substituindo as fórmulas acima e as condições iniciais
, obtemos:
Substituindo as expressões:
Agora simplificamos o lado esquerdo:
Portanto
Passo 4
Fatoramos o polinômio do lado esquerdo:
. Assim
Para inverter a transformada é mais prático juntar tudo em uma única fração. Colocando os termos do numerador sobre um denominador comum
temos (mostro o cálculo do numerador):
Expandindo:
então somando
obtemos
Logo
Passo 5
Fazemos decomposição em frações simples. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando pelos denominadores comuns obtemos a identidade
Usamos valores convenientes de
para achar algumas constantes rapidamente.
- Para
:
- Para
:
pois ao substituir
só o termo com
sobreviveu (os outros têm fator zero).
- Para
:
pois substituindo
só o termo com
contribui.
Agora usamos a equação dos coeficientes do
(ou outra equação linear) para obter
. Coeficiente de
da identidade dá:
Substituindo
e
obtemos
Portanto os coeficientes são
Assim a decomposição é
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. As transformadas inversas básicas que usamos são:
Aplicando a cada termo de
:
Ou seja,
Passo 7
Breve verificação das condições iniciais (para ganhar confiança): em
,
e derivando
e avaliando em
obtemos
. Então as condições iniciais batem, indicando que a solução está consistente.