Sem utilizar a Regra de LHôpital, calcule os limites:
lim x +infty raizx^2-2x-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyraizx^2-2x-2
sem usar a Regra de L’Hopital. O conteúdo aqui é limite de função no infinito, do tipo infty/infty, e vamos usar fatoração da maior potência de x para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Observamos que, quando xto+infty, tanto raizx^2-2 quanto x-2 crescem sem limite, gerando a forma indeterminada infty/infty. A estratégia padrão é fatorar x sob a raiz e no denominador para expor termos que tendem a zero.

Passo 3

Fatorando x em cada parte:
raizx^2-2 = x,raiz1-2x^2 e x-2 = xl(1-2xr)
Logo a expressão vira
raizx^2-2x-2 = x,raiz1-tfrac2x^2xl(1-tfrac2xr) = raiz1-tfrac2x^21-tfrac2x

Passo 4

Agora basta avaliar o limite das duas frações internas, sabendo que 2/x^2to0 e 2/xto0 quando xto+infty. Assim,
raiz1-tfrac2x^2;longrightarrow;raiz1-0=1, 1-tfrac2x;longrightarrow;1-0=1

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão simplificada, obtemos
limxto+inftyraiz1-tfrac2x^21-tfrac2x =11=1

Resposta

1

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