Utilizar a técnica de integração chamada Substituição Trigonométrica para calcular a integral indefinida da função
, em relação a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida da função
em relação a
, usando a técnica de substituição trigonométrica. Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente às integrais que envolvem expressões quadráticas sob a raiz. Para resolver, vamos precisar entender como fazer a substituição trigonométrica para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da raiz para facilitar a substituição. Observamos que:
Podemos fatorar esse 4 e 9 para escrever de forma que se pareça com a identidade trigonométrica
.
Passo 3
Agora, temos:
Isso nos lembra da identidade
. Então, vamos fazer a substituição trigonométrica
.
Passo 4
Com a substituição
, derivamos ambos os lados em relação a
:
Agora, substituímos
e
na integral original.
Passo 5
Substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos
, então:
Substituindo na expressão da integral:
Resposta
A integral indefinida de
é:
onde
é a constante de integração.