Utilizar a técnica de integração chamada Substituição Trigonométrica para calcular a integral indefinida da função g(w) = 1 / raiz(-4 w^2 + 9), em relação a w, |w| <= 3 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida da função em relação a , usando a técnica de substituição trigonométrica. Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente às integrais que envolvem expressões quadráticas sob a raiz. Para resolver, vamos precisar entender como fazer a substituição trigonométrica para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da raiz para facilitar a substituição. Observamos que:
Podemos fatorar esse 4 e 9 para escrever de forma que se pareça com a identidade trigonométrica .

Passo 3

Agora, temos:
Isso nos lembra da identidade . Então, vamos fazer a substituição trigonométrica .

Passo 4

Com a substituição , derivamos ambos os lados em relação a :
Agora, substituímos e na integral original.

Passo 5

Substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos , então:
Substituindo na expressão da integral:

Resposta

A integral indefinida de é:
onde é a constante de integração.

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