Utilize, caso necessário, a regra de L’Hôpital para obter:
lim x 0^+(1+x)^ln x

Passo 1

O enunciado pede calcular limx to 0^+(1+x)^ln x. Trata-se de uma indeterminação do tipo 1^-infty, pois 1+xto1 e ln xto -infty. Vamos usar transformação logarítmica e, se necessário, a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Seja y=(1+x)^ln x. Tomando logaritmo, temos
ln y = ln x cdot ln(1+x)
O limite de ln y conforme xto 0^+ é da forma 0cdot(-infty), que podemos reescrever como quociente:
ln y = ln(1+x)1/ln x

Passo 3

Observamos que, para xto 0^+, o numerador ln(1+x)to0 e o denominador 1/ln xto0, caracterizando uma indeterminação 0/0. Aplicamos a regra de L’Hôpital:
limx to 0^+ ln y = limx to 0^+ ddxln(1+x)ddxl(1/ln xr)

Passo 4

Calculamos as derivadas:
ddxln(1+x)=11+x,
ddxl(1ln xr) =-1x(ln x)^2
Logo,
limx to 0^+ ln y = limx to 0^+ tfrac11+x-tfrac1x(ln x)^2 = limx to 0^+l(-x(ln x)^21+xr)

Passo 5

Como x(ln x)^2to0 quando xto0^+, concluímos que
limx to 0^+ln y = 0
Isso implica
limx to 0^+ y = e^0 = 1

Resposta

1

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